第135页 - 同步练习八年级数学苏科版江苏凤凰科学技术出版社

解：由数轴可得$c$

∴原式$=|a-b|+(a+c)+|c-b|-b$

$=b-a+a+c+b-c-b$

$=b$

解：$a+b=\sqrt {5}+\sqrt {3}+\sqrt {5}-\sqrt {3}$

$=2\sqrt {5}$

$ab=(\sqrt {5}+\sqrt {3})(\sqrt {5}-\sqrt {3})=2$

解：原式$=(a+b)²-ab=(2\sqrt {5})²-2=18$

解：$(1)$设该矩形铁皮的长为$3x\mathrm {dm}，$宽为$2x\mathrm {dm}，$

$ $得$3x·2x=300，$

解得$x=5\sqrt 2$或$x=−5\sqrt 2 ($不合题意，舍去)，

$3x=3×5\sqrt 2=15\sqrt 2 (\mathrm {dm})，$

$2x=2×5\sqrt 2=10\sqrt 2(\mathrm {dm}).$

该矩形铁皮的长为$15\sqrt 2\ \mathrm {dm}，$宽为$10\sqrt 2\ \mathrm {dm} $

$(2)$由题意，得$(15\sqrt 2− \sqrt {32}×2)×(10\sqrt 2− \sqrt {32}×2)× \sqrt {32}$

$=(15\sqrt 2−8\sqrt 2)×(10\sqrt 2−8\sqrt 2)×4\sqrt 2$

$=7\sqrt 2×2\sqrt 2×4\sqrt 2$

$=112\sqrt 2 (\mathrm {dm}^3).$

所以该长方体铁皮盒子的体积为$112\sqrt 2\ \mathrm {dm}^3$

【分析】
首先根据数轴上点的位置，判断出有理数的大小关系：$c ＜ a ＜ 0 ＜ b$，且$|c| ＞ |a|$，$|b| ＞ |a|$。接下来，利用二次根式$\sqrt{x^2}=|x|$的性质，将原式中的二次根式转化为绝对值形式，再根据绝对值的性质，判断每个绝对值内式子的正负，去掉绝对值符号，最后合并同类项完成化简。
【解析】
由数轴可知：$c ＜ a ＜ 0 ＜ b$，且$|c| ＞ |a|$，$|b| ＞ |a|$，由此可得：
$a - b ＜ 0$，$a + c ＜ 0$，$c - b ＜ 0$，$-b ＜ 0$。
根据二次根式性质$\sqrt{x^2}=|x|$和绝对值的化简规则，对原式进行化简：
$\begin{aligned}&\sqrt{(a - b)^{2}}-\vert a + c\vert+\sqrt{(c - b)^{2}}-\vert - b\vert\\=&|a - b| - |a + c| + |c - b| - |b|\\=&-(a - b) - [-(a + c)] + [-(c - b)] - b\\=&-a + b + a + c - c + b - b\\=&b\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{b}$
【知识点】
1. 二次根式的性质
2. 绝对值的化简
3. 数轴的应用
【点评】
本题综合考查了二次根式性质、绝对值化简与数轴的应用，核心是根据数轴准确判断各代数式的正负性，再结合相关性质化简，过程中要注意去括号时的符号变化，避免计算错误。
【难度系数】
0.6

【分析】
对于这道题，我们可以分步骤来思考：
（1）计算$a+b$和$ab$时，直接将已知的$a=\sqrt{5}+\sqrt{3}$，$b=\sqrt{5}-\sqrt{3}$代入式子即可。计算$a+b$时，只需合并同类二次根式；计算$ab$时，利用平方差公式$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$能简化运算，避免繁琐展开。
（2）计算$a^2+ab+b^2$时，直接计算$a^2$和$b^2$较为麻烦，我们可以利用完全平方公式的变形：$a^2+ab+b^2=(a+b)^2 - ab$，代入（1）中已算出的$a+b$和$ab$的值，就能快速得到结果，简化运算过程。
【解析】
（1）计算$a+b$：
将$a=\sqrt{5}+\sqrt{3}$，$b=\sqrt{5}-\sqrt{3}$代入，得：
$a+b=(\sqrt{5}+\sqrt{3})+(\sqrt{5}-\sqrt{3})=\sqrt{5}+\sqrt{5}+\sqrt{3}-\sqrt{3}=2\sqrt{5}$
计算$ab$：
利用平方差公式，得：
$ab=(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})=(\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2=5-3=2$
（2）计算$a^2+ab+b^2$：
由完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，对式子变形得：
$a^2+ab+b^2=(a+b)^2 - ab$
将$a+b=2\sqrt{5}$，$ab=2$代入上式，得：
$(2\sqrt{5})^2 - 2=20 - 2=18$
【答案】
（1）$a+b=2\sqrt{5}$，$ab=2$；（2）$a^2+ab+b^2=18$
【知识点】
二次根式运算、完全平方公式变形、平方差公式
【点评】
本题主要考查二次根式的运算以及乘法公式的灵活运用。通过对式子合理变形，借助已计算的结果简化运算，避免了直接展开平方的繁琐步骤，既考查了基础运算能力，也强调了公式变形的解题技巧。
【难度系数】
0.8

【分析】
（1）已知矩形长与宽的比例，可通过设未知数，结合矩形面积公式列方程求解，注意边长为正数，需舍去负解。
（2）先化简剪掉的正方形边长，再计算出长方体盒子的长、宽、高，其中长和宽为原矩形的长、宽分别减去2倍正方形边长，高为正方形边长，最后利用长方体体积公式计算体积。
【解析】
（1）设该矩形铁皮的长为$3x\ \mathrm{dm}$，宽为$2x\ \mathrm{dm}$。
根据矩形面积公式，可得：
$3x · 2x = 300$
$6x^2 = 300$
$x^2 = 50$
解得$x = 5\sqrt{2}$或$x = -5\sqrt{2}$（边长不能为负，舍去）
则长为$3x = 3×5\sqrt{2}=15\sqrt{2}\ \mathrm{dm}$，宽为$2x = 2×5\sqrt{2}=10\sqrt{2}\ \mathrm{dm}$。
（2）先化简正方形的边长：$\sqrt{32}=\sqrt{16×2}=4\sqrt{2}\ \mathrm{dm}$
长方体盒子的长：$15\sqrt{2} - 2×4\sqrt{2}=7\sqrt{2}\ \mathrm{dm}$
长方体盒子的宽：$10\sqrt{2} - 2×4\sqrt{2}=2\sqrt{2}\ \mathrm{dm}$
长方体盒子的高为$4\sqrt{2}\ \mathrm{dm}$
根据长方体体积公式，可得盒子体积：
$V=7\sqrt{2} × 2\sqrt{2} × 4\sqrt{2}$
$=14×2×4\sqrt{2}$
$=112\sqrt{2}\ \mathrm{dm}^3$
【答案】
（1）矩形铁皮的长为$15\sqrt{2}\ \mathrm{dm}$，宽为$10\sqrt{2}\ \mathrm{dm}$；
（2）长方体铁皮盒子的体积为$112\sqrt{2}\ \mathrm{dm}^3$。
【知识点】
矩形面积公式、长方体体积公式、二次根式运算
【点评】
本题将二次根式运算与矩形、长方体的相关公式结合，考查了数学知识在实际问题中的应用，解题时需注意边长的非负性以及二次根式的正确化简与运算。
【难度系数】
0.6