第134页

信息发布者：
-1或-7
90
解：原式= $-15\sqrt{2}$
解：原式= $x\sqrt{y}$
解：原式​$= 3\sqrt {3}-2\sqrt {3}+\frac {\sqrt {3}}3$​
​$=\frac {4}{3}\sqrt {3}$​
解：原式​$= \sqrt {x}+2\sqrt {x}-2\sqrt {x}$​
​$=\sqrt {x}$​
解：原式​$=3+\frac {6-9}3$​
​$=3-1$​
​$=2$​
解：原式​$=\frac {\sqrt {xy}(x-y)}{\sqrt {x}+\sqrt {y}}+2x\sqrt {y}$​
​$=3x\sqrt {y}-y\sqrt {x}$​
【分析】
要解决本题，需先根据二次根式有意义的条件求出x的取值，再代入求出y的值，最后分情况计算x-y的结果。具体思路如下：
1. 二次根式的被开方数必须是非负数，因此根号内的$x^2 - 9$和$9 - x^2$都需满足非负性；
2. 联立两个非负条件，可确定$x^2$的值，进而求出x的可能取值；
3. 将x的值代入y的表达式求出y，再分情况计算x-y的结果，注意x有两个取值，不能遗漏。
【解析】
根据二次根式有意义的条件，被开方数需大于等于0，因此列出不等式组：
$\begin{cases}x^2 - 9 ≥ 0 \\9 - x^2 ≥ 0\end{cases}$
由$x^2 - 9 ≥ 0$得$x^2 ≥ 9$，由$9 - x^2 ≥ 0$得$x^2 ≤ 9$，因此$x^2 = 9$，解得$x = 3$或$x = -3$。
将$x^2 = 9$代入$y = \sqrt{x^2 - 9} - \sqrt{9 - x^2} + 4$，得：
$y = \sqrt{9 - 9} - \sqrt{9 - 9} + 4 = 0 - 0 + 4 = 4$。
分情况计算$x - y$：
当$x = 3$时，$x - y = 3 - 4 = -1$；
当$x = -3$时，$x - y = -3 - 4 = -7$。
综上，$x - y$的值为$-1$或$-7$。
【答案】
$-1$或$-7$
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件；2. 代数式求值
【点评】
本题核心考查二次根式有意义的条件，解题的关键是利用被开方数非负的性质确定x的取值，需注意x有两个可能的取值，容易因遗漏其中一个导致结果不完整，计算时需分情况讨论。
【难度系数】
0.6
【分析】
要解决这个问题，我们需要先根据图形拼接的关系确定大长方形的长和宽：
1. 观察图②的拼接方式，可知3个小长方形的宽之和等于2个小长方形的长之和，结合图①中小长方形的长为$\sqrt{27}$、宽为$\sqrt{12}$，可验证该关系成立（$3\sqrt{12}=2\sqrt{27}=6\sqrt{3}$）；
2. 大长方形的长为$3\sqrt{12}$（或$2\sqrt{27}$），宽为小长方形的长与宽之和，即$\sqrt{27}+\sqrt{12}$；
3. 最后利用长方形面积公式“面积=长×宽”计算大长方形的面积。
【解析】
第一步：化简小长方形的长和宽：
$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$；
第二步：确定大长方形的长和宽：
长：$3×\sqrt{12}=3×2\sqrt{3}=6\sqrt{3}$（或$2×\sqrt{27}=2×3\sqrt{3}=6\sqrt{3}$）；
宽：$\sqrt{27}+\sqrt{12}=3\sqrt{3}+2\sqrt{3}=5\sqrt{3}$；
第三步：计算大长方形的面积：
面积$=6\sqrt{3}×5\sqrt{3}=6×5×(\sqrt{3}×\sqrt{3})=30×3=90$。
【答案】
90
【知识点】
二次根式运算，长方形面积公式，图形拼接关系
【点评】
本题考查了二次根式的实际应用，关键是通过图形拼接找出长和宽的数量关系，同时要熟练掌握二次根式的化简与乘法运算，将实际图形问题转化为代数计算问题。
【难度系数】
0.6
【分析】
对于这两道二次根式乘法计算题，我们需要运用二次根式的乘法法则来求解。解题思路如下：
1. 第(1)题：先确定乘积的符号，正数乘负数结果为负；再将系数与系数相乘，被开方数与被开方数分别相乘，最后把所得二次根式化为最简形式。
2. 第(2)题：先根据二次根式乘法法则，将两个根号下的式子相乘，同时处理系数运算，再对结果化简，注意被开方数需满足非负性，隐含$x≥0$，$y≥0$的条件。
【解析】
(1) $5\sqrt{3}×(-\sqrt{6})$
$= - (5×1)×(\sqrt{3×6})$ （确定符号，运用二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$，$a≥0,b≥0$）
$= -5×\sqrt{18}$
$= -5×\sqrt{9×2}$ （将18分解为完全平方数9与2的乘积）
$= -5×3\sqrt{2}$
$= -15\sqrt{2}$
(2) $\sqrt{3x}·\sqrt{\dfrac{1}{3}xy}$
$= \sqrt{3x·\dfrac{1}{3}xy}$ （运用二次根式乘法法则）
$= \sqrt{x^2y}$
$= x\sqrt{y}$ （因$x≥0$，故$\sqrt{x^2}=x$）
【答案】
(1) $\boldsymbol{-15\sqrt{2}}$；(2) $\boldsymbol{x\sqrt{y}}$
【知识点】
二次根式乘法法则、最简二次根式化简
【点评】
本题重点考查二次根式的乘法运算，解题关键是熟练掌握二次根式乘法法则，注意符号的确定以及化简时要将二次根式化为最简形式，同时需关注被开方数的非负性条件。
【难度系数】
0.7
【分析】
本题是二次根式的混合运算，解题思路是先将除法转化为乘法，再利用平方差公式化简分母，同时运用二次根式的除法法则计算，最后合并同类二次根式。具体步骤：
1. 对于第一个除法运算，除以一个分式等于乘以它的倒数，同时注意到$x-y$可利用平方差公式分解为$(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})$，以此约分去掉分母中的根式；
2. 对于第二个除法运算，根据二次根式的除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{a÷b}$（$a≥0,b＞0$）进行计算，化简后得到最简二次根式；
3. 最后将两部分的结果合并，得到最终答案。
【解析】
$\begin{aligned}&\sqrt{xy}÷\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x - y}+\sqrt{2xy}÷\sqrt{\frac{1}{2x}}\\=&\sqrt{xy}×\frac{x - y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\sqrt{2xy÷\frac{1}{2x}}\\=&\sqrt{xy}×\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\sqrt{2xy×2x}\\=&\sqrt{xy}(\sqrt{x}-\sqrt{y})+\sqrt{4x^2y}\\=&x\sqrt{y}-y\sqrt{x}+2x\sqrt{y}\\=&3x\sqrt{y}-y\sqrt{x}\end{aligned}$
【答案】
$3x\sqrt{y}-y\sqrt{x}$
【知识点】
1. 二次根式混合运算
2. 平方差公式应用
3. 二次根式化简
【点评】
本题考查二次根式的混合运算，关键在于熟练掌握二次根式的乘除法法则，以及利用平方差公式进行分母有理化，运算过程中要注意符号和同类二次根式的合并，确保每一步化简准确。
【难度系数】
0.4
上一页 下一页