第134页 - 同步练习八年级数学苏科版江苏凤凰科学技术出版社

-1或-7

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解：原式= $-15\sqrt{2}$

解：原式= $x\sqrt{y}$

解：原式$= 3\sqrt {3}-2\sqrt {3}+\frac {\sqrt {3}}3$

$=\frac {4}{3}\sqrt {3}$

解：原式$= \sqrt {x}+2\sqrt {x}-2\sqrt {x}$

$=\sqrt {x}$

解：原式$=3+\frac {6-9}3$

$=3-1$

$=2$

解：原式$=\frac {\sqrt {xy}(x-y)}{\sqrt {x}+\sqrt {y}}+2x\sqrt {y}$

$=3x\sqrt {y}-y\sqrt {x}$

【分析】
要解决本题，需先根据二次根式有意义的条件求出x的取值，再代入求出y的值，最后分情况计算x-y的结果。具体思路如下：
1. 二次根式的被开方数必须是非负数，因此根号内的$x^2 - 9$和$9 - x^2$都需满足非负性；
2. 联立两个非负条件，可确定$x^2$的值，进而求出x的可能取值；
3. 将x的值代入y的表达式求出y，再分情况计算x-y的结果，注意x有两个取值，不能遗漏。
【解析】
根据二次根式有意义的条件，被开方数需大于等于0，因此列出不等式组：
$\begin{cases}x^2 - 9 ≥ 0 \\9 - x^2 ≥ 0\end{cases}$
由$x^2 - 9 ≥ 0$得$x^2 ≥ 9$，由$9 - x^2 ≥ 0$得$x^2 ≤ 9$，因此$x^2 = 9$，解得$x = 3$或$x = -3$。
将$x^2 = 9$代入$y = \sqrt{x^2 - 9} - \sqrt{9 - x^2} + 4$，得：
$y = \sqrt{9 - 9} - \sqrt{9 - 9} + 4 = 0 - 0 + 4 = 4$。
分情况计算$x - y$：
当$x = 3$时，$x - y = 3 - 4 = -1$；
当$x = -3$时，$x - y = -3 - 4 = -7$。
综上，$x - y$的值为$-1$或$-7$。
【答案】
$-1$或$-7$
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件；2. 代数式求值
【点评】
本题核心考查二次根式有意义的条件，解题的关键是利用被开方数非负的性质确定x的取值，需注意x有两个可能的取值，容易因遗漏其中一个导致结果不完整，计算时需分情况讨论。
【难度系数】
0.6

【分析】
要解决这个问题，我们需要先根据图形拼接的关系确定大长方形的长和宽：
1. 观察图②的拼接方式，可知3个小长方形的宽之和等于2个小长方形的长之和，结合图①中小长方形的长为$\sqrt{27}$、宽为$\sqrt{12}$，可验证该关系成立（$3\sqrt{12}=2\sqrt{27}=6\sqrt{3}$）；
2. 大长方形的长为$3\sqrt{12}$（或$2\sqrt{27}$），宽为小长方形的长与宽之和，即$\sqrt{27}+\sqrt{12}$；
3. 最后利用长方形面积公式“面积=长×宽”计算大长方形的面积。
【解析】
第一步：化简小长方形的长和宽：
$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$；
第二步：确定大长方形的长和宽：
长：$3×\sqrt{12}=3×2\sqrt{3}=6\sqrt{3}$（或$2×\sqrt{27}=2×3\sqrt{3}=6\sqrt{3}$）；
宽：$\sqrt{27}+\sqrt{12}=3\sqrt{3}+2\sqrt{3}=5\sqrt{3}$；
第三步：计算大长方形的面积：
面积$=6\sqrt{3}×5\sqrt{3}=6×5×(\sqrt{3}×\sqrt{3})=30×3=90$。
【答案】
90
【知识点】
二次根式运算，长方形面积公式，图形拼接关系
【点评】
本题考查了二次根式的实际应用，关键是通过图形拼接找出长和宽的数量关系，同时要熟练掌握二次根式的化简与乘法运算，将实际图形问题转化为代数计算问题。
【难度系数】
0.6

【分析】
对于这两道二次根式乘法计算题，我们需要运用二次根式的乘法法则来求解。解题思路如下：
1. 第(1)题：先确定乘积的符号，正数乘负数结果为负；再将系数与系数相乘，被开方数与被开方数分别相乘，最后把所得二次根式化为最简形式。
2. 第(2)题：先根据二次根式乘法法则，将两个根号下的式子相乘，同时处理系数运算，再对结果化简，注意被开方数需满足非负性，隐含$x≥0$，$y≥0$的条件。
【解析】
(1) $5\sqrt{3}×(-\sqrt{6})$
$= - (5×1)×(\sqrt{3×6})$ （确定符号，运用二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$，$a≥0,b≥0$）
$= -5×\sqrt{18}$
$= -5×\sqrt{9×2}$ （将18分解为完全平方数9与2的乘积）
$= -5×3\sqrt{2}$
$= -15\sqrt{2}$
(2) $\sqrt{3x}·\sqrt{\dfrac{1}{3}xy}$
$= \sqrt{3x·\dfrac{1}{3}xy}$ （运用二次根式乘法法则）
$= \sqrt{x^2y}$
$= x\sqrt{y}$ （因$x≥0$，故$\sqrt{x^2}=x$）
【答案】
(1) $\boldsymbol{-15\sqrt{2}}$；(2) $\boldsymbol{x\sqrt{y}}$
【知识点】
二次根式乘法法则、最简二次根式化简
【点评】
本题重点考查二次根式的乘法运算，解题关键是熟练掌握二次根式乘法法则，注意符号的确定以及化简时要将二次根式化为最简形式，同时需关注被开方数的非负性条件。
【难度系数】
0.7

【解析】

（1）先将各二次根式化为最简二次根式：

$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{\dfrac{1}{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

代入原式合并同类二次根式：

原式$=3\sqrt{3}-2\sqrt{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$

（2）先化简各二次根式：

$\dfrac{1}{5}\sqrt{25x}=\dfrac{1}{5}×5\sqrt{x}=\sqrt{x}$，$8\sqrt{\dfrac{x}{16}}=8×\dfrac{\sqrt{x}}{4}=2\sqrt{x}$，$\sqrt{4x}=2\sqrt{x}$

代入原式合并同类二次根式：

原式$=\sqrt{x}+2\sqrt{x}-2\sqrt{x}=\sqrt{x}$

（3）分别计算两部分：

第一部分：$\sqrt{18}÷\sqrt{2}=\sqrt{18÷2}=\sqrt{9}=3$

第二部分：$\dfrac{\sqrt{12}-\sqrt{27}}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}-\dfrac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}}=\sqrt{4}-\sqrt{9}=2-3=-1$

两部分相加：

原式$=3+(-1)=2$

（4）分步化简运算：

第一部分：$\sqrt{xy}÷\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x-y}=\sqrt{xy}·\dfrac{(x-y)}{{\sqrt{x}+\sqrt{y}}}$，利用平方差公式$x-y=(\sqrt{x}+\sqrt{y})(\sqrt{x}-\sqrt{y})$，约分得$\sqrt{xy}·(\sqrt{x}-\sqrt{y})=x\sqrt{y}-y\sqrt{x}$

第二部分：$\sqrt{2xy}÷\sqrt{\dfrac{1}{2x}}=\sqrt{2xy·2x}=\sqrt{4x^2y}=2x\sqrt{y}$

两部分相加：

原式$=x\sqrt{y}-y\sqrt{x}+2x\sqrt{y}=3x\sqrt{y}-y\sqrt{x}$

【答案】

(1) $\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$；(2) $\sqrt{x}$；(3) $2$；(4) $3x\sqrt{y}-y\sqrt{x}$

【知识点】

二次根式化简；二次根式四则运算；平方差公式

【点评】

本题是二次根式的综合运算题，核心考点是二次根式的化简与同类二次根式合并，第(4)小题结合平方差公式对分式进行约分简化运算，需要学生熟练掌握二次根式的运算法则，注意运算过程中符号和根式化简的准确性。

【难度系数】

0.6