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B
B
D
A
C
B
$x\geq\frac{2}{5}$
2
＜
1
【分析】
要判断一个式子是否为二次根式，需紧扣二次根式的定义：形如$\sqrt{a}$（$a≥0$，根指数为2且通常省略）的式子叫做二次根式，核心是被开方数必须是非负数。我们需要逐个分析题目中的三个式子，判断每个式子的被开方数是否满足非负条件，进而确定哪些是二次根式，最后统计个数选出答案。
【解析】
根据二次根式的定义，逐个分析如下：
1. 对于①$\sqrt{-2x}$（$x＞0$）：
因为$x＞0$，所以$-2x＜0$，被开方数为负数，不满足二次根式“被开方数非负”的条件，因此不是二次根式。
2. 对于②$\sqrt{\dfrac{1}{4}}$：
被开方数$\dfrac{1}{4}＞0$，且根指数为2（省略未写），符合二次根式的定义，因此是二次根式。
3. 对于③$\sqrt{9a^{2}b^{4}}$：
由于$a^2≥0$，$b^4≥0$，且$9＞0$，所以$9a^{2}b^{4}≥0$，被开方数非负，根指数为2，符合二次根式的定义，因此是二次根式。
综上，是二次根式的有②和③，共2个，故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的定义
【点评】
本题主要考查二次根式的定义，判断的关键在于两点：一是根指数为2（通常省略），二是被开方数为非负数。对于含有字母的被开方数，可利用平方数、偶次方的非负性来判断其符号，这是基础题型，需熟练掌握二次根式的判定方法。
【难度系数】
0.8
【分析】
要确定二次根式$\sqrt{a - 1}$在实数范围内有意义时$a$的取值范围，需先明确二次根式有意义的核心条件：二次根式的被开方数必须是非负数（即大于或等于0）。本题中被开方数为$a-1$，因此只需列出关于$a$的不等式并求解，即可得到$a$的取值范围。
【解析】
根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，可列出不等式：
$a - 1 ≥ 0$
解该不等式：
移项可得$a ≥ 1$
因此$a$的取值范围是$a≥1$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式有意义的条件
【点评】
本题是二次根式有意义条件的基础考查题，属于常考的基础题型。掌握“二次根式被开方数为非负数”这一核心知识点是解决此类问题的关键，需熟练记忆并灵活应用。
【难度系数】
0.9
【分析】
本题考查二次根式的化简与相关性质，解题思路是逐个分析每个选项，依据二次根式的非负性、算术平方根的定义、二次根式的平方运算及分母有理化的方法，判断各选项的正误，进而选出正确答案。
【解析】
对各选项逐一分析：
选项A：根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，可得$\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=|-3|=3$，而非$-3$，故A错误；
选项B：$\sqrt{4}$表示4的算术平方根，算术平方根的结果为非负数，因此$\sqrt{4}=2$，$\pm2$是4的平方根，并非算术平方根，故B错误；
选项C：根据二次根式的平方运算规则，$(-\sqrt{2})^2=(\sqrt{2})^2=2$，而非4，故C错误；
选项D：对$\sqrt{\dfrac{1}{8}}$进行分母有理化，分子分母同乘2得$\sqrt{\dfrac{2}{16}}=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{16}}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的性质，算术平方根定义，分母有理化
【点评】
本题为二次根式基础题型，重点考查学生对二次根式核心概念与运算性质的掌握，需准确区分算术平方根与平方根的差异，熟练运用二次根式的运算规则，避免因概念混淆或运算失误导致错误。
【难度系数】
0.7
【分析】
要解决这道题，首先需明确最简二次根式的两个核心条件：①被开方数的因数是整数、因式是整式（即被开方数不含分母）；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。接下来我们只需对照这两个条件，逐一分析每个选项是否符合即可。
【解析】
根据最简二次根式的定义，对各选项逐一判断：
1. 选项A：$\sqrt{2}$的被开方数是整数2，且2不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的两个条件，属于最简二次根式；
2. 选项B：$\sqrt{0.5}=\sqrt{\dfrac{1}{2}}$，被开方数是分数，不满足“被开方数不含分母”的条件，不是最简二次根式；
3. 选项C：$\sqrt{\dfrac{1}{a}}$的被开方数是分式，不满足“被开方数不含分母”的条件，不是最简二次根式；
4. 选项D：$\sqrt{4}=\sqrt{2^2}=2$，被开方数4是能开得尽方的整数，不满足“被开方数不含能开得尽方的因数”的条件，不是最简二次根式。
综上，只有选项A是最简二次根式。
【答案】
A
【知识点】
最简二次根式的定义
【点评】
本题主要考查对最简二次根式定义的理解与应用，属于基础题型。解题关键是准确牢记最简二次根式的两个判定条件，通过逐个分析选项即可得出答案，注重对基础知识的考查。
【难度系数】
0.8
【分析】
要判断各选项计算的正误，需依据二次根式的运算法则逐一分析：
1. 二次根式乘法遵循$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），除法遵循$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0,b＞0$）；
2. 二次根式加法只有同类二次根式（被开方数相同的二次根式）才能合并，非同类二次根式不能直接相加；
3. 化简二次根式时，需提取被开方数中能开得尽方的因数。
依次验证选项：A符合乘法法则，正确；B符合除法法则，正确；C中$\sqrt{2}$和$\sqrt{3}$不是同类二次根式，不能直接合并为$\sqrt{5}$，错误；D化简过程正确。因此错误的是C选项。
【解析】
逐一分析各选项：
A选项：根据二次根式乘法法则，$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{2×3}=\sqrt{6}$，计算正确；
B选项：根据二次根式除法法则，$\sqrt{12}÷\sqrt{2}=\sqrt{\frac{12}{2}}=\sqrt{6}$，计算正确；
C选项：$\sqrt{2}$与$\sqrt{3}$的被开方数不同，不属于同类二次根式，不能直接合并相加，故$\sqrt{2}+\sqrt{3}≠\sqrt{5}$，计算错误；
D选项：$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=\sqrt{4}×\sqrt{2}=2\sqrt{2}$，化简正确。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的乘除运算、同类二次根式的合并、二次根式的化简
【点评】
本题考查二次根式的基础运算，核心是区分二次根式乘除运算与加法运算的不同规则，尤其是同类二次根式的合并条件，需要学生熟练掌握二次根式的运算性质，避免因混淆规则而出错。
【难度系数】
0.8
【分析】
首先明确鱼竿转动前后长度不变，即$AC=AC'=6\ \mathrm{m}$。然后分别在两个直角三角形$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ AB'C'$中，利用勾股定理求出$AB$和$AB'$的长度，最后通过$AB$与$AB'$的差计算出$BB'$的长度。
【解析】
1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，已知$AC=6\ \mathrm{m}$，$BC=3\sqrt{2}\ \mathrm{m}$，根据勾股定理：
$AB=\sqrt{AC^2 - BC^2}=\sqrt{6^2 - (3\sqrt{2})^2}=\sqrt{36 - 18}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\ \mathrm{m}$
2. 由于鱼竿转动后长度不变，故$AC'=AC=6\ \mathrm{m}$。
3. 在$\mathrm{Rt}△ AB'C'$中，$B'C'=\sqrt{34}\ \mathrm{m}$，根据勾股定理：
$AB'=\sqrt{AC'^2 - B'C'^2}=\sqrt{6^2 - (\sqrt{34})^2}=\sqrt{36 - 34}=\sqrt{2}\ \mathrm{m}$
4. 计算$BB'$的长度：
$BB'=AB - AB'=3\sqrt{2}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}\ \mathrm{m}$
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的应用
【点评】
本题考查勾股定理在实际场景中的应用，解题关键是抓住“鱼竿长度不变”这一隐含条件，通过两个直角三角形的勾股定理计算相关线段长度，进而得到所求线段的长度。
【难度系数】
0.6
【分析】
要确定二次根式$\sqrt{5x - 2}$有意义的$x$取值范围，需牢记二次根式有意义的核心条件：被开方数必须为非负数。因此我们可以先列出关于$x$的不等式，再通过解一元一次不等式的步骤求出$x$的取值范围。具体思考步骤为：首先明确被开方数是$5x-2$，令其大于等于0，然后通过移项、系数化为1的操作解不等式即可。
【解析】
根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，可得：
$5x - 2 ≥ 0$
移项，将常数项移到不等式右侧：
$5x ≥ 2$
不等式两边同时除以5（正数，不等号方向不变），系数化为1：
$x ≥ \frac{2}{5}$
【答案】
$x≥ \frac{2}{5}$
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，主要考查二次根式的基本性质和解一元一次不等式的基本步骤，只要牢记二次根式被开方数非负的性质，就能轻松列出不等式并完成求解，对基础知识的掌握要求较高。
【难度系数】
0.9
【分析】
要解决这道题，首先需明确同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式。解题步骤分为两步：第一步先将非最简二次根式$\sqrt{12}$化简为最简形式；第二步根据同类二次根式的定义，让化简后的二次根式与$\sqrt{a + 1}$的被开方数相等，从而建立方程求解$a$的值。
【解析】
1. 化简$\sqrt{12}$：
$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，此时$\sqrt{12}$的最简形式为$2\sqrt{3}$，被开方数是3。
2. 根据同类二次根式的定义，因为$\sqrt{a + 1}$是最简二次根式，且与$\sqrt{12}$是同类二次根式，所以它们的被开方数相等，即：
$a + 1 = 3$
3. 解方程得：
$a = 3 - 1 = 2$
【答案】
2
【知识点】
同类二次根式定义、二次根式化简
【点评】
本题主要考查同类二次根式的概念及二次根式的化简，属于基础题型。解题关键是准确掌握同类二次根式的定义，先化简非最简二次根式，再通过被开方数相等建立方程求解，侧重对基本概念的理解与应用。
【难度系数】
0.8
【分析】
要比较$\sqrt{3}$和$\sqrt{2}+1$的大小，由于两者均为正数，可采用平方法：先分别计算两个数的平方，再比较平方后的结果大小，因为正数的平方大小关系与原数的大小关系一致，最后根据平方的大小关系还原得到原数的大小关系。
【解析】
因为$\sqrt{3}＞0$，$\sqrt{2}+1＞0$，
计算两者的平方：
$(\sqrt{3})^2=3$，
$(\sqrt{2}+1)^2=(\sqrt{2})^2 + 2×\sqrt{2}×1 + 1^2=2+2\sqrt{2}+1=3+2\sqrt{2}$，
由于$2\sqrt{2}＞0$，所以$3＜3+2\sqrt{2}$，
根据“两个正数，平方大的原数大”，可得$\sqrt{3}＜\sqrt{2}+1$。
【答案】
$＜$
【知识点】
实数大小比较；二次根式的运算
【点评】
本题考查实数的大小比较，针对含二次根式的正数比较大小，平方法是简便有效的方法，通过平方将无理数的大小比较转化为更易判断的数的大小比较，运算难度低，思路清晰。
【难度系数】
0.7
【分析】
观察算式$(\sqrt{2}+1)×(\sqrt{2}-1)$，它符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的形式，其中$a=\sqrt{2}$，$b=1$。我们可以利用平方差公式简化计算，无需直接展开，先确定公式对应项，再代入计算即可得到结果。
【解析】
根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，将$a=\sqrt{2}$，$b=1$代入公式：
$\begin{aligned}(\sqrt{2}+1)×(\sqrt{2}-1)&=(\sqrt{2})^2 - 1^2\\&=2 - 1\\&=1\end{aligned}$
【答案】
1
【知识点】
平方差公式、二次根式的运算
【点评】
本题考查平方差公式在二次根式运算中的应用，利用乘法公式可大幅简化运算，避免复杂计算，学生需熟练掌握平方差公式及二次根式的平方运算规则。
【难度系数】
0.9
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