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解：因为$3^{65}=(3^5)^{13}=243^{13}，$

$4^{52}=(4^4)^{13}=256^{13}，$

$6^{39}=(6^3)^{13}=216^{13}，$

$15^{26}=(15^2)^{13}=225^{13}。$

又$256＞243＞225＞216，$

所以$4^{52}＞3^{65}＞15^{26}＞6^{39}$

解：$(1)$因为$x=5^7，$$y=7^5，$

所以$25^7-49^{35}+35^{35}$

$ =(5^2)^7-[(7^2)^5]^7+(5×7)^{35}$

$ =(5^7)^2-[(7^5)^2]^7+5^{35}×7^{35}$

$ =x^2-(y^2)^7+(5^7)^5×(7^5)^7$

$ =x^2-y^{14}+x^5y^7$

解：$(2)$因为$2^{a}=2024，$

所以$(2^{a})^{\frac {1}{a}}=(2^2)^{\frac {1}{2}}=4^{\frac {1}{2}}=2024^{\frac {1}{a}}。$

$ $因为$506^{b}=2024，$

所以$(506^{b})^{\frac {1}{2b}}=506^{\frac {1}{2}}=2024^{\frac {1}{2b}}。$

$ $因为$4^{\frac {1}{2}}×506^{\frac {1}{2}}=(4×506)^{\frac {1}{2}}=2024^{\frac {1}{2}}，$

$2024^{\frac {1}{a}}×2024^{\frac {1}{2b}}=2024^{\frac {1}{a}+\frac {1}{2b}}，$

所以$\frac {1}{a}+\frac {1}{2b}=\frac {1}{2}$

解：$(3a^{6078})^2-4(a^2)^{8104}$

$=9a^{3×2026×2}-4a^{2×2026×4}$

$=9(a^{2026})^6-4(a^{2026})^8$

$=9×3^6-4×3^8$

$=-19683$

解：$(1)3^{100}-1=(3^2)^{50}-1=(9^2)^{25}-1=81^{25}-1，$

而$81^{25}$的个位数字是$1，$

所以$3^{100}-1$的末位数字是$0。$

解：$(2)3^{2010}×7^{2011}×13^{2012}$

$=(3^4)^{502}×3^2×(7×13)^{2011}×13$

$=81^{502}×91^{2011}×(9×13)$

$=81^{502}×91^{2011}×117。$

因为$81^{502}×91^{2011}$的个位数字为$1，$

所以$3^{2010}×7^{2011}×13^{2012}$的个位数字是$7。$