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解：先化简原式：
$\begin{aligned}&(x-2y)^2 + (x+y)(x-3y) - (2x-y)(x+3y)\\=&x^2 -4xy +4y^2 + x^2 -3xy +xy -3y^2 - (2x^2 +6xy -xy -3y^2)\\=&x^2 -4xy +4y^2 +x^2 -2xy -3y^2 -2x^2 -5xy +3y^2\\=&-11xy +4y^2\end{aligned}$
当$x=-3,y=-2$时，
原式$=-11\times(-3)\times(-2)+4\times(-2)^2=-66+16=-50$
512
解​$：(1)(a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4。$​
验证如下：​$(a + b)^4 = (a + b)(a + b)^3 $​
​$= (a + b)(a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3) $​
​$= a^4 + 3a^3b + 3a^2b^2 + ab^3 + a^3b + 3a^2b^2 + 3ab^3 + b^4 $​
​$= a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4。$​
四
82
12.5
120
解：​$(2)$​设​$2025-x=c，$​​$2023-x=d，$​
则​$c-d=(2025-x)-(2023-x)=2$​
​$ $​已知​$c^2+d^2=4056，$​
由​$(c-d)^2=c^2-2cd+d^2，$​得​$2^2=4056-2cd$​
​$ $​解得​$cd=2026，$​
即​$(2025-x)(2023-x)=2026$​
​$ (3) $​设​$x-1=a，$​​$x-2=b，$​
则​$a-b=1，$​​$ab=5$​
​$ $​阴影部分面积​$=5+a^2+b^2+ab=a^2+b^2+10$​
​$ $​由​$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2，$​
得​$a^2+b^2=1+2×5=11$​
​$ $​则阴影部分面积​$=11+10=21$​
答：阴影部分的面积为​$21。$​
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