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$ $解$：(1) a^2+b^2=c^2$

理由：大正方形的面积为$c^2，$同时大正方形的面积等于$4$个直角三角形的面积与中间小正方形

的面积之和，即$4×\frac {1}{2}ab+(b-a)^2$

$ $因此$c^2=2ab+(b^2-2ab+a^2)，$化简得$c^2=a^2+b^2，$即$a^2+b^2=c^2$

$ (2) $解：由$b-a=1，$得$(b-a)^2=1，$即$b^2-2ab+a^2=1$

$ $由$(1)$的结论$a^2+b^2=c^2=25，$代入得$25-2ab=1，$解得$2ab=24$

$ $则$(b+a)^2=b^2+2ab+a^2=25+24=49$

$ $因为$a、$$b$是直角三角形的直角边，为正数，所以$b+a=7$

$ $所以$b^2-a^2=(b+a)(b-a)=7×1=7$

$2^2+3^2$

$9$

$3$

$-1$

解$：(2)②k=13 $理由$：$

因为$S=x²+4y²+4x−12y+k(x，y$是整数$，k$是常数$)，$

所以$S=x²+4x+4+4y²−12y+9+k−13，$

所以$S=(x+2)²+(2y−3)²+k−13.$

因为对于任意的整数$x，y，S{都为}“$完美数$”，$

所以$k−13=0，$

即$k=13.$

$3$

$1$