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解：四边形$ABCD$是平行四边形$.$

∵在$Rt△ DBC$中，$∠ DBC=90°，$

∴$DB^2+BC^2=DC^2，$

即$4^2+(x-5)^2=(x-3)^2，$

$ $解得$x=8，$

∴$DC=5，$$BC=3，$$AD=3.$

又∵$AB=5，$

∴$AD=BC，$$DC=AB，$

∴四边形$ABCD$是平行四边形$.$

$ (1) $证明：∵四边形$ABCD$为平行四边形，

∴$AD=BC，$$AD// BC，$即$DE// BF.$

∵$E，$$F $分别为边$AD，$$BC$的中点，

∴$DE=\frac {1}{2}AD，$$BF=\frac {1}{2}BC，$

∴$DE=BF，$

∴四边形$BFDE$为平行四边形$.$

$ (2) $证明：由$(1)$得$AD=BC，$$AD// BC，$四边形$BFDE$为平行四边形，

∴$∠ EAG=∠ FCH，$$∠ AEF=∠ CFE，$$BE// DF，$

∴$∠ BEF=∠ DFE，$

∴$∠ AEF-∠ BEF=∠ CFE-∠ DFE，$即$∠ AEG=∠ CFH.$

∵$E，$$F $分别为边$AD，$$BC$的中点，

∴$AE=\frac {1}{2}AD，$$CF=\frac {1}{2}BC，$

∴$AE=CF.$

$ $在$△ AEG $和$△ CFH$中，

$ \begin {cases}∠ EAG=∠ FCH， \\AE=CF， \\∠ AEG=∠ CFH，\end {cases}$

∴$△ AEG≌△ CFH(\mathrm {ASA})，$

∴$AG=CH.$

$ (1) $证明：根据小明的作法知，$CF=AE.$

∵四边形$ABCD$是平行四边形，

∴$AD// BC.$

又∵$CF=AE，$

∴四边形$AFCE$是平行四边形，

∴$AF// CE.$

$ (2) $答：以点$A$为圆心，$CE$长为半径画弧，交$BC$于点$F，$

此时可能会有两个交点，只有其中一个交点符合题意，

因此小丽的作法有问题。