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 对角线互相平分的四边形是平行四边形

①②④

$(2,-1)$或$(4,3)$或$(0,5)$

证明：连接$AC，$交$BD$于点$O.$

∵四边形$ABCD$是平行四边形，

∴$OA=OC，$$OB=OD.$

∵$BF=ED，$

∴$BF-OB=ED-OD，$即$OF=OE.$

又∵$OA=OC，$

∴四边形$AECF $是平行四边形，

∴$AE// CF$

$ (1) $证明：∵四边形$ABCD$是平行四边形，

∴$AD// BC，$

∴$∠ EAO=∠ FCO.$

∵$O$是$AC$的中点，

∴$OA=OC.$

$ $在$△ OAE$和$△ OCF_{中}，$

$ \begin {cases}∠ EAO=∠ FCO， \\OA=OC， \\∠ AOE=∠ COF，\end {cases}$

∴$△ OAE ≌ △ OCF(\mathrm {ASA})，$

∴$OE=OF.$

同理，可得$OG=OH，$

∴四边形$EGFH$是平行四边形

$ (2) $答：与四边形$AGHD$面积相等的平行四边形有$▱GBCH，$

▱ABFE,▱EFCD,▱EGFH。