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解：命题​$1、$​命题​$2、$​命题​$3$​都是真命题，证明如下：
如图，设​$ED$​交​$AC$​于点​$O。$​
∵​$CD$​是​$Rt△ ABC$​斜边​$AB$​上的中线，
∴​$DC=DA=DB=\frac {1}{2}AB。$​
∵​$AE// DC，$​​$CE// AB，$​
∴四边形​$ADCE$​是平行四边形，
又∵​$DC=DA，$​
∴四边形​$ADCE$​是菱形，
∴​$ED⊥ AC，$​​$EC=DA，$​​$OE=OD=\frac {1}{2}ED，$​
∴​$EC=DB，$​
∴四边形​$EDBC$​是平行四边形，
∴​$ED=BC，$​
∴​$OE=\frac {1}{2}BC。$​
∵​$S_{△ CFB}=\frac {1}{2}CF· BC，$​​$S_{△ CEF}=\frac {1}{2}CF· OE，$​
∴​$S_{△ CFB}=2S_{△ CEF}。$​

解：​$ (1) $​结论：​$DM=EM，$​​$DM⊥ EM。$​
​$ (2) $​结论仍然成立，即​$DM=EM，$​​$DM⊥ EM。$​
证明：延长​$EM$​交​$DA$​的延长线于点​$H。$​
∵四边形​$ABCD$​与四边形​$CEFG $​是正方形，
∴​$∠ ADE=∠ DEF=90°，$​​$AD=CD，$​​$EC=FE，$​
∴​$∠ ADE+∠ DEF=180°，$​
∴​$AD// EF，$​
∴​$∠ MAH=∠ MFE。$​
∵​$M$​是​$AF $​的中点，
∴​$AM=FM。$​
又∵​$∠ AMH=∠ FME，$​
∴​$△ AMH ≌ △ FME(\mathrm {ASA})，$​
∴​$MH=ME，$​​$AH=FE=EC，$​
∴​$DH=DE，$​
∴在​$Rt△ EDH$​中，​$DM=EM，$​​$DM⊥ EM。$​
​$ (3) $​如图​$①，$​​$MF=\sqrt {157}；$​如图②，​$MF=\sqrt {37}。$​
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