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证明：如图，连接$AE$并延长，交$BC$于点$G。$
∵$AD// BC，$
∴$∠ ADE=∠ GBE，$$∠ EAD=∠ EGB。$
∵$E$是$BD$的中点，
∴$DE=BE。$
在$△ ADE$和$△ GBE$中，
$\begin{cases}∠ EAD=∠ EGB, \\∠ ADE=∠ GBE, \\DE=BE,\end{cases}$
∴$△ ADE ≌ △ GBE$（AAS），
∴$AD=GB，$$AE=GE。$
∵$F$是$AC$的中点，
∴$AF=FC，$
∴$EF$为$△ AGC$的中位线，
∴$EF=\frac{1}{2}GC=\frac{1}{2}(BC-BG)，$
∴$EF=\frac{1}{2}(BC-AD)。$

B
$1+\sqrt{2}$
$∠ AEB，$$∠ DHC，$$∠ EFC，$$∠ DCH$
证明：​$(1)$​∵四边形​$ABCD$​是平行四边形，
∴​$AD//BC，AD=BC，$​
∴​$∠ADE=∠EBF.$​
∵​$BE=BC，$​
∴​$AD=BE.$​
在​$△AED $​和​$△EFB$​中，
​$\begin {cases}{AD=EB，}\\{∠ADE=∠EBF}\\{DE=BF} \end {cases}$​
∴​$△AED≌△EFB(\mathrm {SAS})$​
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