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$75°$
证明：
(1) ∵$O$是$AB$的中点，
∴$AO=BO。$
∵$AE// BC，$
∴$∠ AEO=∠ BDO。$
在$△ AEO$和$△ BDO$中，
$\begin{cases}∠ AEO=∠ BDO, \\∠ AOE=∠ BOD, \\AO=BO,\end{cases}$
∴$△ AEO ≌ △ BDO$（AAS），
∴$EO=DO，$
∴四边形$AEBD$是平行四边形。
(2) 四边形$AEBD$是矩形。
∵$AB=AC，$$D$是$BC$的中点，
∴$AD⊥ BC，$$∠ ADB=90°。$
由(1)可知，四边形$AEBD$是平行四边形，
∴四边形$AEBD$是矩形。
(1) 证明：
∵$AD// BC，$$AE// DC，$
∴四边形$AECD$是平行四边形。
∵在$\mathrm{Rt}△ BAC$中，$∠ BAC=90°，$$E$是$BC$的中点，
∴$AE=\frac{1}{2}BC=CE，$
∴四边形$AECD$是菱形。
(2) 解：如图，过点$A$作$AH⊥ BC$于点$H。$
∵$∠ BAC=90°，$$AB=6，$$BC=10，$
∴$AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8。$
∵$BC· AH=AB· AC=2S_{△ BAC}，$
∴$AH=\frac{AB· AC}{BC}=\frac{6×8}{10}=\frac{24}{5}。$
由(1)，得四边形$AECD$是菱形，
∴$CE=CD。$
∵$S_{\mathrm{菱形}AECD}=CE· AH=CD· EF，$
∴$EF=AH=\frac{24}{5}。$

C
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