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解：过点​$D$​作​$DE⊥ BC$​于点​$E。$​
∵​$AD// BC，$​​$∠ B=90°，$​​$DE⊥ BC，$​
∴四边形​$ABED$​是矩形，
∴​$AB=DE，$​​$AD=BE=5。$​
​$ $​则​$EC=BC-BE=10-5=5。$​
​$ $​在​$Rt△ DEC$​中，由勾股定理得：
​$ DE=\sqrt {CD^2-EC^2}=\sqrt {13^2-5^2}=\sqrt {144}=12，$​
∴​$AB=12。$​

解：过点​$A$​作​$AE⊥ BC$​于点​$E，$​过点​$D$​作​$DF⊥ BC$​于点​$F$​
∵四边形​$ABCD$​是等腰梯形，​$AD// BC，$​
∴​$BE=FC=\frac {BC-AD}{2}=\frac {20-8}{2}=6。$​
​$ $​在​$Rt△ABE$​中，由勾股定理得：
​$ AE=\sqrt {AB^2-BE^2}=\sqrt {10^2-6^2}=\sqrt {64}=8。$​
∴​$S_{梯形ABCD}=\frac {(AD+BC)× AE}{2}=\frac {(8+20)×8}{2}=112。$​

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB// CD，AD// BC，AB=CD。
∵DE=DC，
∴AB=DE。
∵AD// BE，且AB与DE不平行，
∴四边形ABED是梯形。
又∵AB=DE，
∴四边形ABED是等腰梯形。
解：选择甲：如图①

∵​$AD=DC=\frac {1}{2}BC，$​​$E $​是​$ BC $​的中点，
∴​$CE=\frac {1}{2}BC=AD.$​
∵​$AD// BC，$​
∴四边形​$ADCE $​是平行四边形​$.$​
∵​$AD=CD，$​
∴四边形​$ADCE $​是菱形​$.$​
选择乙：如图②，连接​$ AE、$​​$DE，$​​$DE $​交​$ AC $​于点​$ O，$​
∵​$AD=DC=\frac {1}{2}BC，$​​$E $​是​$ BC $​的中点，
∴​$BE=CE=\frac {1}{2}BC=AD.$​
∵​$AD//BC，$​
∴四边形​$ADCE $​是平行四边形，四边形​$ABED $​是平行四边形​$.$​
∵​$AD=CD，$​
∴四边形​$ADCE $​是菱形，
∴​$AC⊥DE，$​
∴​$∠EOC=90°.$​
∵四边形​$ABED$​是平行四边形，
∴​$DE// AB，$​
∴​$∠BAC=∠EOC=90°，$​
∴​$△ABC$​是直角三角形​$.$​
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