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信息发布者：
$2\sqrt{3}$
$\frac{24}{5}$
$\sqrt{7}$
$\frac{5}{4}$或$5$
证明：∵​$O$​是​$AB$​的中点，
∴​$AO=BO。$​
∵​$∠ A=∠ B=90°，$​​$∠ AOD=∠ BOC，$​
​$ $​在​$△ AOD$​和​$△ BOC$​中，
​$ \begin {cases}∠ A=∠ B \\AO=BO \\∠ AOD=∠ BOC\end {cases}$​
∴​$△ AOD ≌ △ BOC(\mathrm {ASA})，$​
∴​$AD=BC。$​
又∵​$∠ A=∠ B=90°，$​
∴​$AD // BC，$​
∴四边形​$ABCD$​是平行四边形。
又∵​$∠ A=90°，$​
∴平行四边形​$ABCD$​是矩形。
证明：​$(1) $​∵​$ $​四边形​$ ABCD $​是平行四边形​$， $​
∴​$ AB = CD， ∠B = ∠D， AB // CD. $​
∴​$ ∠BAC = ∠ACD. $​
∵​$ AE $​平分​$ ∠BAC， CF $​平分​$ ∠ACD， $​
∴​$ ∠BAE = ∠CAE = \frac {1}{2}∠BAC， ∠DCF = ∠ACF = \frac {1}{2}∠ACD. $​
∴​$ ∠BAE = ∠DCF. $​
在​$ △ABE $​和​$ △CDF $​中​$， $​
​$\begin {cases}{∠B = ∠D，}\\{AB = CD，}\\{∠BAE = ∠DCF，} \end {cases} $​
∴​$ △ABE ≌ △CDF $​
​$(2) $​当​$ △ABC $​满足​$ AB = AC $​时​$， $​四边形​$ AECF $​是矩形​$ $​
由​$ (1)， $​得​$ ∠CAE = \frac {1}{2}∠BAC， ∠ACF = \frac {1}{2}∠ACD， $​
​$∠BAC = ∠ACD $​
∴​$ ∠CAE = ∠ACF. $​
∴​$ AE // CF. $​
∵​$ △ABE ≌ △CDF， $​
∴​$ AE = CF. $​
∴​$ $​四边形​$ AECF $​是平行四边形​$. $​
∵​$ AB = AC， AE $​平分​$ ∠BAC， $​
∴​$ AE ⊥ BC. $​
∴​$ ∠AEC = 90°. $​
∴​$ ▱AECF $​是矩形
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