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解：$(2)$分两种情况：

$ ①$当点$F $在$OM$上时，

∵$OE ⊥ AB，$$MN ⊥ CD，$

∴$∠ EOB=90°，$$∠ MOD=90°.$

∵$∠ AOC=35°，$

∴$∠ BOD=∠ AOC=35°，$

∴$∠ EOF=∠ EOB+∠ BOF=90°+(90°-35°)=145°；$

$ ②$当点$F $在$ON$上时，

$ ∠ EOF=∠ BOD=35°.$

∴$∠ EOF $的度数为$35°$或$145°.$

 解：

 (1) $\because ∠ BOC=50°，$

 $\therefore ∠ AOC=180°-∠ BOC=130°.$

 $\because OE$平分$∠ AOC，$$OF$平分$∠ BOC，$

 $\therefore ∠ COE=\frac{1}{2}∠ AOC=65°，$$∠ COF=\frac{1}{2}∠ BOC=25°，$

 $\therefore ∠ EOF=∠ COE+∠ COF=65°+25°=90°，$

 $\therefore OE ⊥ OF.$

 (2) $OE ⊥ OF$仍成立.

 理由：$\because ∠ BOC=α，$

 $\therefore ∠ AOC=180°-α.$

 $\because OE$平分$∠ AOC，$$OF$平分$∠ BOC，$

 $\therefore ∠ COE=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}(180°-α)=90°-\frac{1}{2}α，$

 $∠ COF=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}α，$

 $\therefore ∠ EOF=∠ COE+∠ COF=(90°-\frac{1}{2}α)+\frac{1}{2}α=90°，$

 $\therefore OE ⊥ OF.$

 规律：邻补角的平分线互相垂直.

线段AC

线段BD的长度

线段BC的长度

 垂线段最短