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解：过点$A$作$AD⊥ BC$于点$D，$

设$BD=x，$则$CD=6-x，$

$ $在$Rt△ ABD$中，

$AD^2=AB^2-BD^2=5^2-x^2，$

$ $在$Rt△ ACD$中，

$AD^2=AC^2-CD^2=(\sqrt {13})^2-(6-x)^2，$

∴$25-x^2=13-(36-12x+x^2)，$

$ 25-x^2=13-36+12x-x^2，$

$ 25=-23+12x，$

$ $解得$x=4，$

∴$AD=\sqrt {5^2-4^2}=3，$

∴$S_{△ ABC}=\frac {1}{2}× BC× AD=\frac {1}{2}×6×3=9.$

$13$

$\frac{60}{13}$

$32$

解：在$Rt△ BDE$中，

$∠ BAD=90°， ∠ ADB=30°， BD=4，$

∴$BA=\frac {1}{2}BD=2，$

$DA=\sqrt {BD^2-BA^2}=\sqrt {4^2-2^2}=2\sqrt {3}，$

$ $在$Rt△ CDA$中，

$∠ CAD=90°， ∠ ADC=45°，$

∴$CA=DA=2\sqrt {3}，$

∴$BC=CA-BA=2\sqrt {3}-2，$

答：火箭从$B$点上升到$C$点的高度$BC$为$(2\sqrt {3}-2)\mathrm {km}.$