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解：过点$A$作$AD⊥ BC$于点$D，$

设$BD=x，$则$CD=14-x，$

$ $在$Rt△ ABD$中，

$AD^2=AB^2-BD^2=15^2-x^2，$

$ $在$Rt△ ACD$中，

$AD^2=AC^2-CD^2=13^2-(14-x)^2，$

∴$225-x^2=169-(196-28x+x^2)，$

$ 225-x^2=169-196+28x-x^2，$

$ 225=-27+28x，$

$ $解得$x=9，$

∴$AD=\sqrt {15^2-9^2}=12，$

∴$S_{△ ABC}=\frac {1}{2}×14×12=84.$

解：在$Rt△ ABC$中，

$AC=\sqrt {AB^2+BC^2}=\sqrt {2^2+1.5^2}=2.5m，$

∵梯子长度不变，

∴$DE=AC=2.5m，$

$ $在$Rt△ CDE$中，

$CD=\sqrt {DE^2-CE^2}=\sqrt {2.5^2-2.4^2}=0.7m，$

∴小巷的宽度$BD=BC+CD=1.5+0.7=2.2m，$

答：小巷的宽度为$2.2$米$.$

解：在$Rt△ ABC$中，

$AB=\sqrt {AC^2+BC^2}=\sqrt {6^2+8^2}=10，$

由折叠可知，$AE=AC=6，$$CD=DE，$

$∠ AED=∠ C=90°，$

∴$BE=AB-AE=10-6=4，$

设$BD=x，$则$CD=DE=8-x，$

$ $在$Rt△ BDE$中，

$DE^2+BE^2=BD^2，$

$ $即$(8-x)^2+4^2=x^2，$

$ 64-16x+x^2+16=x^2，$

$ 80-16x=0，$

解得$x=5，$

∴$BD=5.$

解：作$∠ ABD=15°，$交$AC$的延长线于点$D，$

$ $则$∠ ADB=15°，$

∴$AD=BD，$$∠ BDC=30°，$

$ $在$Rt△ BCD$中，

$∠ BCD=90°， ∠ BDC=30°， BC=2，$

∴$BD=2BC=4，$

$CD=\sqrt {BD^2-BC^2}=\sqrt {4^2-2^2}=2\sqrt {3}，$

∴$AD=BD=4，$

∴$AC=AD+CD=4+2\sqrt {3}.$