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解：​$(1) $​由题意得，​$CE=BF=1.5m，$​​$BC=2m，$​​$DE=0.5m，$​
∴​$CD=CE-DE=1.5-0.5=1m，$​
​$ $​设​$AD=AB=xm，$​则​$AC=(x-1)m，$​
​$ $​在​$Rt△ ABC$​中，​$∠ ACB=90°，$​
由勾股定理：​$BC^2+AC^2=AB^2，$​
即​$2^2+(x-1)^2=x^2，$​
​$ 4+x^2-2x+1=x^2，$​
​$ 5-2x=0，$​
解得​$x=2.5，$​
答：绳索​$AD$​的长是​$2.5m.$​
​$ (2) $​在​$Rt△ ABC$​中，
​$AC=\sqrt {AB^2-BC^2}=\sqrt {2.5^2-1.5^2}=2m，$​
∴​$CD=AD-AC=2.5-2=0.5m，$​
∴​$BF=CD+DE=0.5+0.5=1m，$​
答：秋千踏板离地面的垂直高度​$BF $​为​$1m.$​

 解：如图，过点​$A$​作​$AD⊥ BC$​于点​$D，$​
设​$CD = x.$​
​$ $​在​$Rt△ ADC$​中，​$AD^2=b^2-x^2，$​
在​$Rt△ ADB$​中，​$AD^2=c^2-(a + x)^2.$​
∴​$a^2+b^2=c^2-2ax.$​
∵​$a ＞ 0，$​​$x ＞ 0，$​
∴​$2ax ＞ 0，$​
∴​$a^2+b^2＜c^2.$​
∴当​$△ ABC$​为钝角三角形时，​$a^2+b^2＜c^2$​

$\sqrt{41}$
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