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解：

$ (1) $∵点$P(2a-2，a+5)$在$y$轴上，

∴$2a-2=0，$

$ $解得$a=1，$则$a+5=6，$

∴点$P $的坐标为$(0，6)。$

$ (2) $∵点$Q $的坐标为$(4，5)，$直线$PQ// y$轴，

∴$2a-2=4，$

解得$a=3，$则$a+5=8，$

∴点$P $的坐标为$(4，8)。$

$ (3) $∵点$P(2a-2，a+5)$到$x$轴、$y$轴的距离相等，

∴$|2a-2|=|a+5|，$

∴$2a-2=a+5$或$2a-2=-(a+5)，$

$ $解得$a=7$或$a=-1。$

$ $当$a=7$时，$2a-2=12，$$a+5=12，$则$P(12，12)；$

$ $当$a=-1$时，$2a-2=-4，$$a+5=4，$则$P(-4，4)。$

综上，点$P $的坐标为$(-4，4)$或$(12，12)。$