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解：​$(1)$​∵​$|a-2|+(b-3)^2=0，$​
∴​$a-2=0，$​​$b-3=0，$​
∴​$a=2，$​​$b=3。$​
​$ (2)$​过点​$M$​作​$MD⊥ y$​轴于点​$D。$​
∵​$A(0，2)，$​​$B(3，0)，$​​$M(m，1)$
​且在第二象限，
∴​$AO=2，$​​$BO=3，$​​$MD=|m|=-m，$​
∵​$S_{△ ABO}$​
​$=\frac {1}{2}BO· AO$​
​$=\frac {1}{2}×3×2$​
​$=3，$​
​$ S_{△ AMO}$​
​$=\frac {1}{2}AO· MD$​
​$=\frac {1}{2}×2×(-m)$​
​$=-m，$​
∴​$S_{四边形ABOM}$​
​$=S_{△ ABO}+S_{△ AMO}$​
​$=3-m。$​
​$ (3)$​当​$m=-\frac {3}{2}$​时，
四边形​$ABOM$​的面积为
​$3-m=3-(-\frac {3}{2})=\frac {9}{2}。$​
∴​$S_{△ ABN}=\frac {9}{2}。$​
​$ ① $​当点​$N$​在​$x$​轴负半轴上时，设​$N(x，0)，$
​则​$BN=3-x，$​
​$ S_{△ ABN}$​
​$=\frac {1}{2}BN· AO$​
​$=\frac {1}{2}(3-x)×2$​
​$=\frac {9}{2}，$​
​$ $​解得​$x=-\frac {3}{2}，$​
∴​$N(-\frac {3}{2}，0)。$​
​$ ② $​当点​$N$​在​$y$​轴负半轴上时，设​$N(0，y)，$
​则​$AN=2-y，$​
​$ S_{△ ABN}$​
​$=\frac {1}{2}AN· BO$​
​$=\frac {1}{2}(2-y)×3$​
​$=\frac {9}{2}，$​
​$ $​解得​$y=-1，$​
∴​$N(0，-1)。$​
综上所述，点​$N$​的坐标为​$N(-\frac {3}{2}，0)$​或​$N(0，-1)。$​
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解：​$ (2) $​∵​$d_{AB}=|2 - 4|+|3 - 2|=2 + 1 = 3，$​
∴​$d_{OC}=2d_{AB}=6.$​
∵​$ $​点​$ C $​在第三象限，
∴​$m＜0，n＜0，$​
​$d_{OC}=|m - 0|+|n - 0|$​
​$=|m|+|n|$​
​$=-m - n$​
​$=-(m + n).$​
∵​$d_{OC}=2d_{AB}，$​
∴​$-(m + n)=6，$​
即​$ m + n=-6，$​
∴​$d_{AC}=|2 - m|+|3 - n|$​
​$=2 - m + 3 - n$​
​$=5-(m + n)$​
​$=5 + 6$​
​$=11，$​
​$d_{BC}=|4 - m|+|2 - n|$​
​$=4 - m + 2 - n$​
​$=6-(m + n)$​
​$=6 + 6$​
​$=12.$​
∵​$3 + 11≠12，11 + 12≠3，12 + 3≠11，$​
∴​$△ ABC $​不是​$“$​等距三角形​$”.$​
​$ (3) $​点​$ C $​在​$ x $​轴上时，点​$ C(m，0)，$​
则​$ d_{AC}=|2 - m|+3，d_{BC}=|4 - m|+2. $​
​$① $​当​$ m＜2 $​时，
​$d_{AC}=2 - m + 3=5 - m，$​
​$d_{BC}=4 - m + 2=6 - m，$​
若​$ △ ABC $​是​$“$​等距三角形​$”，$​
则分以下三种情况：
​$(ⅰ) 5 - m + 3=6 - m，$​
解得​$ m = 4($​不合题意​$)；$​
​$(ⅱ) 5 - m + 3=6 - m，$​显然不成立；
​$(ⅲ) 6 - m + 3=5 - m，$​显然不成立. 
∴​$ $​当​$ m＜2 $​时，
​$△ ABC $​不是​$“$​等距三角形​$”.$​
​$ ② $​当​$ 2≤ m＜4 $​时，
​$d_{AC}=m - 2 + 3=m + 1，$​
​$d_{BC}=4 - m + 2=6 - m，$​
若​$ △ ABC $​是​$“$​等距三角形​$”，$​
则分以下三种情况：
​$(ⅰ)\ \mathrm {m} + 1 + 3=6 - m，$​显然不成立；
​$(ⅱ)\ \mathrm {m} + 1 + 3=6 - m，$​
解得​$ m = 1($​不合题意​$)；$​
​$(ⅲ) 6 - m + 3=m + 1，$​
解得​$ m = 4($​不合题意​$).$​
 ∴​$ $​当​$ 2≤ m＜4 $​时，
​$△ ABC $​不是​$“$​等距三角形​$”.$​
​$ ③ $​当​$ m≥4 $​时，
​$d_{AC}=m - 2 + 3=m + 1，$​
​$d_{BC}=m - 4 + 2=m - 2，$​
若​$ △ ABC $​是​$“$​等距三角形​$”，$​
则分以下三种情况：
​$(ⅰ)\ \mathrm {m} + 1 + m - 2=3，$​
解得​$ m = 2($​不合题意​$)；$​
​$(ⅱ)\ \mathrm {m} + 1 + 3=m - 2，$​显然不成立；
​$(ⅲ)\ \mathrm {m} - 2 + 3=m + 1，$​恒成立.
 ∴​$ $​当​$ m≥4 $​时，
​$△ ABC $​是​$“$​等距三角形​$”. $​
综上所述，​$△ ABC $​是​$“$​等距三角形​$”$​时，
​$m $​的取值范围为​$ m≥4.$​
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