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解：​$(1)$​依题意得
​$ \begin {cases} 10m+20n=2000 \\20m+30n=3400 \end {cases}$​
​$ $​解得​$\begin {cases}\ \mathrm {m}=80 \\n=60 \end {cases}$​
答：​$m $​的值为​$80，$​​$n$​的值为​$60。$​
​$ (2)$​依题意得​$120x+90y=3600，$​
整理得​$4x+3y=120$​
商场获利：
​$(120-80)x+(90-60)y$​
​$=40x+30y$​
​$=10(4x+3y)$​
​$=10×120$​
​$=1200($​元​$)$​
答：该商场可获利​$1200$​元。
​$ (3)$​设该日销售​$A$​款足球​$a$​个，
​$B$​款足球​$b$​个，依题意得：
​$ (120-80-10)a+[(90-60)-10×\frac {2}{3}]b$​
​$=600$​
​$ $​化简得​$9a+7b=180，$​
即​$a=20-\frac {7}{9}b$​
​$ $​因为​$a，$​​$b$​为正整数，所以​$b$​是​$9$​的倍数：
​$ $​当​$b=9$​时，​$a=13；$​
当​$b=18$​时，​$a=6$​
​$ $​所以​$\begin {cases} a=13 \\b =9 \end {cases}$​或​$\begin {cases} a=6 \\b=18 \end {cases}$​
答：该日销售​$A$​款足球​$13$​个，​$B$​款足球​$9$​个
或​$A$​款足球​$6$​个，​$B$​款足球​$18$​个。
（1）解：
$\begin{cases} x+2y=7 &① \\ x=y+1 &② \end{cases}$
将②代入①得：$y+1+2y=7，$解得$y=2$
把$y=2$代入②得：$x=3，$则$|x-y|=|3-2|=1$
所以该方程组的解$x$与$y$具有“邻好关系”。
（2）解：
$\begin{cases} 4x-y=6 &① \\ 2x+y=4m &② \end{cases}$
①+②得：$6x=6+4m，$
解得$x=1+\frac{2}{3}m$
②×2-①得：$3y=8m-6，$
解得$y=-2+\frac{8}{3}m$
由$|x-y|=1$得：
$\left|1+\frac{2}{3}m+2-\frac{8}{3}m\right|=1，$
即$|3-2m|=1$
解得$m=1$或$m=2$
（3）解：
$\begin{cases} x+ay=7 &① \\ 2y-x=5 &② \end{cases}$
①+②得：$(2+a)y=12，$解得$y=\frac{12}{2+a}，$代入②得$x=\frac{24}{2+a}-5$
因为$a，$$x，$$y$为正整数，所以$2+a$是12的正因数：
当$2+a=3，$即$a=1$时，
$y=4，$$x=3，$$|x-y|=1，$
具有“邻好关系”；
当$2+a=4，$即$a=2$时,
$y=3，$$x=1，$$|x-y|=2≠1，$
不具有“邻好关系”；
当$2+a≥6$时，$x$为非正整数，舍去
综上，该方程组的解$x$与$y$具有“邻好关系”，此时$a=1，$方程组的解为$\boldsymbol{\begin{cases} x=3 \\ y=4 \end{cases}}$
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