解:
$ (1) $解方程$4y+2m+1=2y+5$:
$ $移项得$4y-2y=5-2m-1,$
$ $合并同类项得$2y=4-2m,$
$ $解得$y=2-m.$
根据题意,方程的解为负数,即$2-m<0,$
$ $解得$m>2.$
$ (2) $∵$m $取最小整数,
∴$m=3.$
$ $将$m=3$代入不等式$x-1>\frac {mx+1}{2},$
得$x-1>\frac {3x+1}{2},$
$ 2(x-1)>3x+1,$
$ 2x-2>3x+1,$
$ 2x-3x>1+2,$
$ -x>3,$
∴$x<-3.$