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$x≥\frac{10}{9}$
$m≤ -2$
$b < -3$
$a≥ -\frac{6}{5}$

解:
​$ (1) $​解方程​$4y+2m+1=2y+5$​:
​$ $​移项得​$4y-2y=5-2m-1,$​
​$ $​合并同类项得​$2y=4-2m,$​
​$ $​解得​$y=2-m.$​
根据题意,方程的解为负数,即​$2-m<0,$​
​$ $​解得​$m>2.$​
​$ (2) $​∵​$m $​取最小整数,
∴​$m=3.$​
​$ $​将​$m=3$​代入不等式​$x-1>\frac {mx+1}{2},$​
得​$x-1>\frac {3x+1}{2},$​
​$ 2(x-1)>3x+1,$​
​$ 2x-2>3x+1,$​
​$ 2x-3x>1+2,$​
​$ -x>3,$​
∴​$x<-3.$​