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$(8,4)$
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解：​$(1)BF// DE，$​理由如下：
∵四边形​$ABCD$​是平行四边形，
∴​$AD// BC，$​
∴​$∠ AFB=∠ CBF.$​
∵​$∠ AFB=∠ CED，$​
∴​$∠ CBF=∠ CED，$​∴​$BF// DE.$​
​$ (2) $​证明：∵四边形​$ABCD$​是平行四边形，
∴​$AB=CD，∠ A=∠ C.$​
​$ $​在​$△ ABF $​和​$△ CDE$​中，
​$\begin {cases}∠ A=∠ C \\∠ AFB=∠ CED \\AB=CD\end {cases}$​
∴​$△ ABF≌△ CDE(\mathrm {AAS}).$​
证明：​$(1)$​∵四边形​$ABCD$​是平行四边形，
∴​$AD=BC，AD// BC，$​
∴​$∠ ABC+∠ BAD=180°，$​
∵​$AF// BE，$​
∴​$∠ EBA+∠ BAF=180°，$​
∴​$∠ CBE=∠ DAF，$​同理得​$∠ BCE=∠ ADF.$​
​$ $​在​$△ BCE$​和​$△ ADF_{中}，$​
​$\begin {cases}∠ CBE=∠ DAF \\BC=AD\\∠ BCE=∠ ADF\end {cases}$​
∴​$△ BCE≌△ ADF(\mathrm {ASA}).$​
​$ (2) $​∵点​$E$​在​$□ ABCD$​的内部，
∴​$S_{△ BEC}+S_{△ AED}=\frac {1}{2}S_{□ ABCD}，$​
​$ $​由​$(1)$​知​$△ BCE≌△ ADF，$​
∴​$S_{△ BCE}=S_{△ ADF}，$​
∴​$S_{四边形AEDF}=S_{△ ADF}+S_{△ AED}=S_{△ BEC}+S_{△ AED}=\frac {1}{2}S_{□ ABCD}.$​
∵​$□ ABCD$​的面积为​$6，$​
∴四边形​$AEDF $​的面积为​$3.$​
解：​$(1)$​如答图​$①，$​过点​$D$​作​$DH⊥ AB$​于点​$H.$​
∵​$AD=3\sqrt {2}，∠ A=45°，$​
∴​$AH=DH=\frac {1}{\sqrt {2}}AD=3.$​
又∵​$AB=5，$​
∴​$HB=AB-AH=2.$​
​$ $​在​$Rt△ BDH$​中，由勾股定理，得​$BD=\sqrt {DH^2+HB^2}=\sqrt {3^2+2^2}=\sqrt {13}.$​
​$ (2) $​如答图​$②，$​直线​$AF $​即为所求​$.$
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