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​$ C$​

解：​$(1)$​如答图，线段​$BO$​即为所作​$.$​
​$ (2)$​证明：∵​$BO$​是​$AC$​边上的中线，
∴​$AO=CO.$​
∵将中线​$BO$​绕点​$O$​逆时针旋转​$180°$​得到​$DO，$​
∴​$BO=DO，$​
∴四边形​$ABCD$​是平行四边形​$.$​
∵​$∠ ABC=90°，$​
∴四边形​$ABCD$​是矩形​$.$​
证明：​$(1)$​∵​$O$​是​$AC$​的中点，
∴​$OA=OC.$​
∵​$OB=OD，$​
∴四边形​$ABCD$​是平行四边形​$.$​
∵​$∠ ABC=90°，$​
∴平行四边形​$ABCD$​是矩形​$.$​
​$ (2)l_{2}-l_{1}=BC-AB=b-a=2，$​​$l_{3}=2(AB+BC)=2(a+b)=28，$​
∴​$\begin {cases} b-a=2\\b+a=14 \end {cases}，$​
∴​$\begin {cases} a=6 \\b =8 \end {cases}，$​
∴​$AB=6，$​​$BC=8.$​
在​$Rt△ ABC$​中，由勾股定理得​$AC=\sqrt {AB^2+BC^2}=10.$​
$t$
$26-3t$
解：​$(2)$​由题意可得​$PD=AD-AP=(24-t)\mathrm {cm}，$​​$QC=3t\mathrm {cm}，$​
∵​$AD// BC，$​
∴​$PD// QC，$​
∴当​$PD=QC$​时，四边形​$PQCD$​为平行四边形​$.$​
​$ $​由​$PD=QC$​得，​$24-t=3t，$​
解得​$t=6.$​
∴当运动时间为​$6\ \mathrm {s} $​时，四边形​$PQCD$​为平行四边形​$.$​
​$ (3)$​∵​$AD// BC，$​
∴​$AP// BQ.$​
∴当​$AP=BQ $​时，四边形​$ABQP $​为平行四边形​$.$​
​$ $​由​$AP=BQ，$​得​$t=26-3t，$​
解得​$t=\frac {13}{2}.$​
又∵​$∠ B=90°，$​
∴平行四边形​$ABQP $​为矩形​$.$​
∴当运动时间为​$\frac {13}{2}\ \mathrm {s} $​时，四边形​$ABQP $​为矩形​$.$​
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