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$\sqrt{41}$
证明：∵四边形​$ABCD$​是平行四边形，
∴​$BC// AD，$​​$BC=AD=5，$​
∴​$∠ D=∠ FCE.$​
∵​$E$​是​$CD$​的中点，
∴​$DE=CE.$​
​$ $​在​$△ ADE$​和​$△ FCE$​中，
​$ \begin {cases}∠ D=∠ FCE \\DE=CE \\∠ AED=∠ FEC，\end {cases}$​
∴​$△ ADE≌△ FCE(\mathrm {ASA})，$​
∴​$FC=AD=5，$​
∴​$BF=BC+FC=5+5=10.$​
​$ B$​
解​$：(1)△BDE $​是等腰三角形​$.$​理由如下​$：$​
∵​$BD $​平分​$∠ABC，$​
∴​$∠ABD = ∠CBD.$​
∵​$BC//ED，$​
∴​$∠EDB = ∠CBD，$​
∴​$∠EDB = ∠EBD，$​
∴​$EB = ED，$​
∴​$△BDE $​是等腰三角形​$.$​
​$(2)②$​解​$：$​由​$(1)$​可知​$，∠ABE = ∠EBG = ∠AEB，$​
∴​$AB = AE = 3.$​
∵​$AF⊥BE，$​
∴​$∠BAF = ∠EAF.$​
∵​$BC//AD，$​
∴​$∠EAG = ∠AGB，$​
∴​$∠BAF = ∠AGB，$​
∴​$AB = BG = 3.$​
∵​$AB//FD，$​
∴​$∠BAF = ∠CFG.$​
∵​$∠AGB = ∠CGF，$​
∴​$∠CGF = ∠CFG，$​
∴​$CG = CF.$​
∵​$CG = BC - BG = 5 - 3 = 2，$​
∴​$CF = 2.$​
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