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​$ C$​
证明：​$(1)$​∵四边形​$ABCD$​是平行四边形，
∴​$AD// BC，$​
∴​$∠ AFO=∠ EBO。$​
∵​$O$​是​$BF $​的中点，
∴​$OB=OF。$​
​$ $​在​$△ AOF $​和​$△ EOB$​中，
​$\begin {cases}∠ AFO=∠ EBO\\OF=OB \\∠ AOF=∠ EOB，\end {cases}$​
∴​$△ AOF≌△ EOB(\mathrm {ASA})，$​
∴​$OA=OE。$​
∵​$OB=OF，$​
∴四边形​$ABEF $​是平行四边形。
∵​$AB=AF，$​
∴四边形​$ABEF $​是菱形。
​$ (2)$​∵​$AD// BC，$​
∴​$∠ BAD+∠ ABC=180°。$​
∵​$∠ BAD=120°，$​
∴​$∠ ABE=60°。$​
∵在菱形​$ABEF_{中}，$​​$AB=AF=BE=EF，$​
∴​$△ ABE$​是等边三角形，
∴​$AE=AB。$​
∵在平行四边形​$ABCD$​中，​$AB=CD，$​​$AD=BC，$​
∴​$EC=DF=1。$​
∵​$AB+BC+CD+AD=12，$​
∴​$AB+BE+1+CD+AF+1=12，$​
∴​$4AB=10，$​
∴​$AB=AE=2.5。$​
平行四边形
解：​$(2)$​如答图​$①，$​连接​$GH$​交​$AC$​于点​$O，$​易知​$GH=BC=8\ \mathrm {cm}。$​
​$ $​在矩形​$ABCD$​中，​$∠ B=90°，$​​$AB=6\ \mathrm {cm}，$​​$BC=8\ \mathrm {cm}，$​
∴​$AC=10\ \mathrm {cm}。$​
∵以​$E，G，F，H$​为顶点的四边形是矩形，
∴​$EF=GH=8\ \mathrm {cm}。$​
∴​$10-4t=8$​或​$4t-10=8，$​
​$ $​解得​$t=\frac {1}{2}$​或​$t=\frac {9}{2}。$​
∴在​$ (1)$​的条件下，当​$t $​为​$\frac {1}{2}$​或​$\frac {9}{2}$​时，以​$E，G，F，H$​为顶点的四边形是矩形。
​$ (3)$​如答图​$②，$​取​$AC$​的中点​$O，$​过点​$O$​作​$GH⊥ AC$​交​$BC$​于点​$G，$​交​$AD$​于点​$H，$
​连接​$AG，$​此时四边形​$EGFH$​为菱形。
​$ $​设​$BG=x，$​则由​$GH$​垂直平分​$AC，$​得​$AG=CG=8-x。$​
​$ $​在​$Rt△ ABG_{中}，$​由勾股定理，得​$AB^2+BG^2=AG^2，$​
∴​$6^2+x^2=(8-x)^2。$​
∴​$x=\frac {7}{4}。$​
∴​$2t=6+\frac {7}{4}。$​
​$ $​解得​$t=\frac {31}{8}。$​
∴当​$t $​为​$\frac {31}{8}$​时，以​$E，G，F，H$​为顶点的四边形是菱形。
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