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第53页

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$\frac{9}{14}$

$ C$

证明：$(1)$在正方形$ABCD$中，$AD=AB=BC=CD=9，$

$∠ D=∠ B=∠ BCD=90°。$

∵将$△ ABE$沿$AE$对折至$△ AGE，$

∴$AB=AG，$$BE=GE，$$∠ B=∠ AGE=90°。$

∴$AD=AG，$$∠ D=∠ AGF=90°。$

又∵$AF=AF，$

∴$Rt△ AGF≌Rt△ ADF(\mathrm {HL})。$

$ (2)$由$(1)$可知$EG=BE=3，$$CE=6。$

$ $设$DF=x，$则$GF=x，$$EF=x+3，$$CF=9-x。$

$ $在$Rt△ CEF_{中}，$$CE^2+CF^2=EF^2，$

∴$6^2+(9-x)^2=(x+3)^2，$

解得$x=\frac {9}{2}。$

∴$EF=3+\frac {9}{2}=\frac {15}{2}。$