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证明：​$(1)$​∵四边形​$ABCD$​是菱形，
∴​$OD=OB.$​
又∵​$E$​是​$AD$​的中点，
∴​$OE$​是​$△ABD$​的中位线，
∴​$OE//AB.$​
又∵​$OG//EF，$​
∴四边形​$OEFG $​是平行四边形​$.$​
又∵​$EF⊥AB，$​
∴平行四边形​$OEFG $​是矩形​$.$​
​$ (2)$​如答图，过点​$D$​作​$DH⊥AB$​于点​$H，$​
则​$EF $​是​$△AHD$​的中位线，
∴​$DH=2EF=8.$​
∴$S_{菱形ABCD}=AB· DH=10×8=80.$
证明：​$(1)$​如答图，连接​$AC，BD$​交于点​$O，AC$​交​$FG $​于点​$N，BD$​交​$HG $​
于点​$M.$​
∵​$AB//CD，AD//BC，$​
∴四边形​$ABCD$​是平行四边形​$.$​
∵四边形​$EFGH$​是矩形，
∴​$∠HGF=90°.$​
∵​$H，G_{分别是}AD，DC$​的中点，
∴​$HG//AC，HG=\frac {1}{2}AC，$​
∴​$∠HGF=∠GNC，$​
∴​$∠GNC=90°.$​
∵​$G，F_{分别是}DC，BC$​的中点，
∴​$GF//BD，GF=\frac {1}{2}BD，$​
∴​$∠GNC=∠MOC=90°，$​
∴​$BD⊥AC，$​
∴平行四边形​$ABCD$​是菱形​$.$​
​$ (2)$​∵矩形​$EFGH$​的周长为​$22，$​
∴​$HG+FG=11，$​
∴​$AC+BD=22.$​
∵​$\frac {1}{2}AC· BD=10，$​
∴​$AC·BD=20.$​
∵​$(AC+BD)^2=AC^2+2AC· BD+BD^2，$​
∴​$AC^2+BD^2=444，$​
∴​$\frac {1}{4}AC^2+\frac {1}{4}BD^2=111，$​
∴​$AO^2+BO^2=111，$​
∴​$AB^2=AO^2+BO^2=111，$​
∴​$AB=\sqrt {111}.$​
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