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证明：​$(1)$​∵将矩形纸片​$ABCD$​沿对角线​$AC$​折叠，使点​$B$​落到点​$B'$​处，
∴​$∠ ECA=∠ ACB。$​
∵​$AD// BC，$​
∴​$∠ EAC=∠ ACB，$​
∴​$∠ EAC=∠ ECA，$​
∴​$AE=CE，$​
∴​$△ AEC$​是等腰三角形。
​$ (2) $​证明：如答图①，连接​$BD，$​必过点​$O。$
​
∵将该纸片沿过点​$O$​的线段​$EF_{折叠}，$​使点​$A$​的对应点为​$A'，$​点​$B$​与点​$D$​重合，
∴​$OB=OD，$​​$BD⊥ EF。$​
∵​$DF// BE，$​
∴​$∠ DFE=∠ BEF。$​
∵​$∠ DOF=∠ BOE，$​
∴​$△ DOF≌△ BOE(\mathrm {AAS})，$​
∴​$DF=BE，$​
∴四边形​$FBED$​是平行四边形，
​$ $​又​$BD⊥ EF，$​
∴四边形​$FBED$​是菱形。
​$ (3)$​如答图​$②，$​连接​$AC。$
​
∵对角线​$AC，$​​$BD$​相交于点​$O，$​
∴​$AC$​经过点​$O。$​
∵四边形​$ABCD$​是平行四边形，
∴​$AE// CF，$​
∴​$∠ EAO=∠ FCO。$​
∵​$AO=OC，$​​$∠ AOE=∠ COF，$​
∴​$△ AOE≌△ COF(\mathrm {ASA})，$​
∴​$OE=OF，$​​$AE=CF。$​
由折叠可知，​$AE=A'E=CF，$​​$∠ A'=∠ BAE=∠ BCD。$​
∵​$∠ A'IE=∠ DIH，$​​$∠ IDH=∠ B'，$​​$∠ IHD=∠ B'HG，$​
∴​$∠ DIH=∠ B'GH。$​
∵​$∠ B'GH=∠ CGF，$​
∴​$∠ A'IE=∠ CGF，$​
∴​$△ A'IE≌△ CGF(\mathrm {AAS})，$​
∴​$FG=EI。$​
∵​$ED=4，$​​$ID=2，$​
∴​$FG=EI=4-2=2。$​
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