解：$(1)$∵四边形$ABCD$是正方形，
∴$AD=CD，$$∠A=∠C=90°$
∵$AE=CF$
∴在$△ADE$和$△CDF_{中}$：
$\begin {cases}{AD=CD}\\{∠A=∠C} \\{AE=CF}\end {cases}$
∴$△ADE≌△CDF(\mathrm {SAS})$
∴$∠ADE=∠CDF$
∵$∠EDF=45°$
∴$∠ADE+∠CDF=90°-45°=45°$
∴$∠CDF+∠CDF=45°$
∴$∠CDF=22.5°$
∴$∠DFC=90°-22.5°=67.5°$
$(2)$如图$(2)，$延长$BC$到点$K，$使$CK=AE，$连接$DK. $
∵$∠DCK=180°−90°=90°，$
∴$∠DCK=∠A， $
∴$△DCK≌△DAE(\mathrm {SAS})， $
∴$DK=DE，∠CDK=∠ADE， $
∴$∠KDF=∠CDK+∠CDF=∠ADE+∠CDF=45°， $
∴$∠KDF=∠EDF.$
∵$DF=DF， $
∴$△KDF≌△EDF(\mathrm {SAS})，$
∴$KF=EF. $
∵$KF=CK+CF=AE+CF，$
∴$EF=AE+CF， $
∴$BE+EF+BF=BE+AE+CF+BF=AB+BC.$
∵$AB=BC=20，$
∴$BE+EF+BF=40，$
∴$△EBF $的周长是定值$. $
$(3)$如图$(3)，$作$DL//EH，$交$AB$于点$L，$交$FG $于点$P，$
作$DM//FG，$交$BC$于点$M，$交$EH$于点$Q，$连接$ LM.$
∵$DH//LE，DG//FM，$
∴四边形$DLEH、$四边形$DGFM、$四边形$OPDQ $都是平行四边形，
∴$GD=BF=FM=5，EH=DL，∠LDM=∠POQ=∠EOF=45°，$
∴$BM=5+5=10.$由$(2)$得$，BL+LM+BM=40，$
∴$BL+LM=30， $
∴$LM=30−BL.$
∵$∠B=90°， $
∴$BL²+BM²=LM²， $
∴$BL²+10²=(30−BL)²， $解得$BL=\frac {40}{3}，$
∴$AL=20−\frac {40}{3}=\frac {20}{3}. $
∵$AD=AB=20， $
∴$DL=\sqrt {20²+(\frac {20}{3})²}=\frac {20\sqrt {10}}{3}$
∴$EH=\frac {20\sqrt {10}}{3}.$
