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$ (1) $证明：

∵四边形$CADF $是正方形，

∴$AD=AC，$$∠ DAC=90°，$

∴$∠ DAD_{1}+∠ CAB=90°，$

∵$DD_{1}⊥ l，$

∴$∠ DD_{1}A=90°，$

∴$∠ DAD_{1}+∠ ADD_{1}=90°，$

∴$∠ ADD_{1}=∠ CAB，$

在$△ADD_{1}$和$△CAB$中：

$\begin {cases}{∠DD_{1}A=∠ABC}\\{∠ADD_{1}=∠CAB}\\{AD=CA}\end {cases}$

∴$△ADD_{1}≌△CAB(\mathrm {AAS})$

∴$DD_{1}=AB$

$ (2) $证明：$DD_{1}+EE_{1}=AB，$

$ $过点$C$作$CK⊥ l$于点$K，$

$ $同理可证$△ ADD_{1}≌△ CAK(\mathrm {AAS})，$$△ BEE_{1}≌△ BCK(\mathrm {AAS})，$

∴$DD_{1}=AK，$$EE_{1}=BK，$

∵$AK+BK=AB，$

∴$DD_{1}+EE_{1}=AB；$

$ (3) $线段$DD_{1}，EE_{1}，AB$之间的数量关系为：$DD_{1}=AB+EE_{1}$