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$AB=AD$（答案不唯一）

$AC⊥ BD$

 证明：

 ∵四边形ABCD是正方形，

 ∴$AB=BC=CD=DA，$$∠ A=∠ B=∠ C=∠ D=90°，$

 ∵$AE=BF=CG=DH，$

 ∴$AB-AE=BC-BF=CD-CG=DA-DH，$即$BE=CF=DG=AH，$

 在$△ AEH$和$△ BFE$中，

 $\{\begin{array}{l}AE=BF\\∠ A=∠ B\\AH=BE\end{array} $

 ∴$△ AEH≌△ BFE$（SAS），

 同理可证$△ BFE≌△ CGF，$$△ CGF≌△ DHG，$

 ∴$EH=FE=GF=HG，$$∠ AEH=∠ BFE，$

 ∵$∠ BFE+∠ BEF=90°，$

 ∴$∠ AEH+∠ BEF=90°，$

 ∴$∠ HEF=90°，$

又

 ∵$EH=FE=GF=HG，$

 ∴四边形EFGH是正方形。

 解：连接BF，

 ∵E为AB中点，$FE⊥ AB，$

 ∴FE是AB的垂直平分线，

 ∴$AF=BF，$

 ∵$AF=2AE，$$AE=\frac{1}{2}AB，$

 ∴$BF=AB，$

 ∴$△ ABF$是等边三角形，

 ∴$∠ FBA=60°，$

 ∵四边形ABCD是正方形，

 ∴$AB=BC，$$∠ DBC=45°，$$∠ ABC=90°，$

 ∴$∠ FBC=∠ FBA+∠ ABC=60°+90°=150°，$

 ∵$BF=AB=BC，$

 ∴$∠ BFC=∠ BCF=\frac{180°-150°}{2}=15°，$

 ∵$∠ DBC=45°，$

 ∴$∠ DOC=∠ DBC+∠ BCF=45°+15°=60°。$