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​$ (1)$​证明：∵四边形​$ABCD$​是平行四边形，
∴​$AD// BC，$​即​$AF// BE，$​
又∵​$EF// AB，$​
∴四边形​$ABEF $​是平行四边形，
∵​$BF $​平分​$∠ ABC，$​
∴​$∠ ABF=∠ EBF，$​
∵​$AD// BC，$​
∴​$∠ AFB=∠ EBF，$​
∴​$∠ ABF=∠ AFB，$​
∴​$AB=AF，$​
∴平行四边形​$ABEF $​是菱形。
​$ (2)$​解：∵四边形​$ABEF $​是菱形，
∴​$AB=BE，$​
∵​$AD=7，$​​$CE=2，$​
∴​$BC=AD=7，$​
∴​$BE=BC-CE=7-2=5，$​即​$AB=5，$​
​$ $​在菱形​$ABEF_{中}，$​​$BF=8，$​对角线交于​$O，$​则​$BO=4，$​
​$ $​在​$Rt△ AOB$​中，
​$AO=\sqrt {AB^2-BO^2}=\sqrt {5^2-4^2}=3，$​
∴​$AE=2AO=6，$​
​$ $​菱形​$ABEF $​的面积为​$\frac {1}{2}× AE× BF=\frac {1}{2}×6×8=24，$​
​$ $​设菱形高为​$h，$​则​$AB× h=24，$​解得​$h=\frac {24}{5}，$​
​$ $​平行四边形​$ABCD$​的面积为​$BC× h=7×\frac {24}{5}=\frac {168}{5}。$​
​$ (1)$​证明：
∵​$DE$​是​$AC$​的垂直平分线，
∴​$AE=CE，$​​$∠ ADE=90°，$​
∵​$∠ ACB=90°，$​
∴​$DE// BC，$​
∴​$E$​是​$AB$​的中点，
∴​$AE=BE，$​
又∵​$BE=BF，$​
∴​$CE=BF，$​
又∵​$CE// BF，$​
∴四边形​$BCEF $​是平行四边形。
​$ (2)$​当​$∠ A=30°$​时，四边形​$BCEF $​是菱形，
证明：∵​$∠ A=30°，$​​$∠ ACB=90°，$​
∴​$BC=\frac {1}{2}AB，$​
∵​$E$​是​$AB$​中点，
∴​$BE=\frac {1}{2}AB，$​
∴​$BC=BE，$​
又∵​$BE=CE،$​
∴​$BC=CE，$​
∵四边形​$BCEF $​是平行四边形，
∴平行四边形​$BCEF $​是菱形。


​$ (1)$​证明：
∵四边形​$ABCD$​是矩形，
∴​$AD// BC，$​
∴​$∠ DEC=∠ ECB，$​
∵​$BE=BC，$​
∴​$∠ BEC=∠ ECB，$​
∴​$∠ DEC=∠ BEC，$​
∴​$CE$​平分​$∠ BED。$​
​$ (2)$​解：
∵四边形​$ABCD$​是矩形，​$AB=3，$​​$BC=5，$​
∴​$AD=BC=5，$​​$CD=AB=3，$​​$∠ D=90°，$​
​$ $​在​$Rt△ ABE$​中，​$AE=\sqrt {BE^2-AB^2}=\sqrt {5^2-3^2}=4，$​
∴​$DE=AD-AE=5-4=1，$​
​$ $​在​$Rt△ CDE$​中，​$CE=\sqrt {DE^2+CD^2}=\sqrt {1^2+3^2}=\sqrt {10}。$​
​$ (3)$​解：存在，分两种情况：
​$ ①$​延长​$ED$​到点​$F，$​使​$EF=BC=5，$​
∵​$EF=BC$​且​$EF// BC，$​
∴四边形​$BCEF $​是平行四边形，
又∵​$EF=BE=BC，$​
∴平行四边形​$BCEF $​是菱形；
​$ ②$​在​$EA$​的延长线上取点​$F，$​使​$EF=BC=5，$​
同理，​$EF=BC$​且​$EF// BC，$​
​$ $​四边形​$BCEF $​是平行四边形，
又∵​$EF=BE=BC，$​
∴平行四边形​$BCEF $​是菱形。
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