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证明：

∵$AF// BC，$

∴$∠ FAE=∠ DCE，$

∵$E$是$AC$的中点，

∴$AE=CE，$

$ $在$△ AEF $和$△ CED$中，

$ \begin {cases}∠ FAE=∠ DCE\\∠ AEF=∠ CED\\AE=CE\end {cases}$

∴$△ AEF≌△ CED(\mathrm {AAS})，$

∴$AF=CD，$

又∵$AF// CD，$

∴四边形$ADCF $是平行四边形，

∵$AC=2AB，$$E$是$AC$中点，

∴$AB=AE，$

∵$AD$平分$∠ BAC，$

∴$∠ BAD=∠ CAD，$

又∵$AD=AD，$

∴$△ ABD≌△ AED(\mathrm {SAS})，$

∴$∠ AED=∠ B=90°，$即$DE⊥ AC，$

∵$AE=CE，$

∴$AD=CD，$

∴平行四边形$ADCF $是菱形。

菱

$2\sqrt{3}$

 证明：

 ∵四边形$ABCD$是平行四边形，

 ∴$∠ B=∠ D，$

 ∵$AE⊥ BC，$$AF⊥ CD，$

 ∴$∠ AEB=∠ AFD=90°，$

 在$△ ABE$和$△ ADF$中，

 $\begin{cases}∠ AEB=∠ AFD\\BE=DF\\∠ B=∠ D\end{cases}$

 ∴$△ ABE≌△ ADF$（ASA），

 ∴$AB=AD，$

 ∴平行四边形$ABCD$是菱形。

证明：

由折叠的性质得：$AB=AD，$$BM=DM，$

$∠ BAM=∠ DAM，$

∵$DM// AB，$

∴$∠ BAM=∠ DMA，$

∴$∠ DAM=∠ DMA，$

∴$AD=DM，$

∴$AB=AD=BM=DM，$

∴四边形$ABMD$是菱形。