第64页

信息发布者：

证明：
​$ (1) $​∵​$AB// CD，$​即​$AE// CD，$​
又∵​$CE// AD，$​
∴四边形​$AECD$​是平行四边形。
∵​$AC$​平分​$∠ BAD，$​
∴​$∠ CAE=∠ CAD，$​
∵​$AD// CE，$​
∴​$∠ ACE=∠ CAD，$​
∴​$∠ ACE=∠ CAE，$​
∴​$AE=CE，$​
∴四边形​$AECD$​是菱形。
​$(2)△ ABC$​是直角三角形，
理由如下：​$ $​连接​$DE，$​交​$AC$​于点​$F，$​
∵四边形​$AECD$​是菱形，
∴​$DE⊥ AC，$​且​$F $​为​$AC$​中点，
∵​$E$​是​$AB$​的中点，​$F $​为​$AC$​中点，
∴​$EF// BC，$​
∵​$∠ AFE=90°，$​
∴​$∠ ACB=∠ AFE=90°，$​
∴​$BC⊥ AC，$​即​$△ ABC$​是直角三角形。
证明：∵​$AC⊥ AB，$​
∴在​$Rt△ ABC$​中，由勾股定理得：
​$ BC^2-AB^2=AC^2，$​
​$ $​即​$(x-3)^2-(x-5)^2=4^2，$​
​$ $​解得​$x=8，$​
∴​$AB=8-5=3，$​​$CD=11-8=3，$
​​$BC=8-3=5，$​
∵​$AD=5，$​
∴​$AB=CD，$​​$AD=BC，$​
∴四边形​$ABCD$​是平行四边形。
解：​$(1) $​小明的错误是：错用菱形的判定方法，
仅证明两组邻边分别相等就判定四边形为菱形，
忽略了需先证明是平行四边形，
再结合一组邻边相等判定菱形。
​$ (2) $​正确证明：
∵​$DE// AC，$​​$DF// AB，$​
∴四边形​$AEDF $​是平行四边形，
∵​$AD$​平分​$∠ BAC，$​
∴​$∠ 1=∠ 2，$​
∵​$DE// AC，$​
∴​$∠ 2=∠ 3，$​
∴​$∠ 1=∠ 3，$​
∴​$DE=AE，$​
∴平行四边形​$AEDF $​是菱形​$($​证明方法不唯一​$)。$​
​$ (1) $​证明：∵四边形​$ABCD$​是平行四边形，
∴​$AB=CD，$​​$AB// CD，$​
∵​$BE=AB，$​∴​$BE=CD，$​
∵​$AB// CD，$​∴​$∠ BEF=∠ CDF，$​​$∠ EBF=∠ DCF，$​
​$ $​在​$△ BEF $​和​$△ CDF_{中}，$​
​$ \begin {cases}∠ BEF=∠ CDF \\BE=CD \\∠ EBF=∠ DCF\end {cases}$​
∴​$△ BEF≌△ CDF(\mathrm {ASA})。$​
​$ (2) $​证明：∵​$BE=CD，$​​$BE// CD，$​
∴四边形​$BECD$​是平行四边形，
∴​$DF=\frac {1}{2}DE，$​​$CF=\frac {1}{2}BC，$​
∵四边形​$ABCD$​是平行四边形，
∴​$∠ FCD=∠ A，$​
∵​$∠ BFD=∠ FCD+∠ FDC，$​
且​$∠ BFD=2∠ A，$​
∴​$2∠ A=∠ A+∠ FDC，$​∴​$∠ FDC=∠ FCD，$​
∴​$FD=FC，$​
∵​$DF=\frac {1}{2}DE，$​​$CF=\frac {1}{2}BC，$​
∴​$BC=DE，$​
∴四边形​$BECD$​是矩形。
上一页 下一页