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 证明：$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，

 $\therefore AD// BC，$$AD=BC。$

 又$\because DE// AC，$

 $\therefore$ 四边形$ACED$是平行四边形，

 $\therefore AD=CE，$

 $\therefore BC=CE，$即$C$是$BE$的中点。

 $\because EF⊥ AB，$

 $\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ BEF$中，$CF$为斜边$BE$的中线，

 $\therefore CF=BC，$

 $\therefore AD=CF。$

 解：$\because$ 四边形$ABCD$是矩形，

 $\therefore OA=OB，$$∠ AOD=120°，$

 $\therefore ∠ AOB=180°-120°=60°，$

 $\therefore △ AOB$是等边三角形，

 $\therefore OA=AB=3\ \mathrm{cm}，$

 $\therefore$ 矩形对角线的长为$2OA=6\ \mathrm{cm}。$

 解：根据二次根式有意义的条件，得

 $\begin{cases}1-x≥0\\x-1≥0\end{cases}，$解得$x=1，$

 则$y=\sqrt{1-1}+\sqrt{1-1}+2=2。$

 将$x=1，$$y=2$代入原式：

 $\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{2}{1}+2}-\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{2}{1}-2}$

 $=\sqrt{\frac{9}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}}$

 $=\frac{3\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}$

 $=\sqrt{2}$

解：$(2)$过$D$作$DE⊥BC$交$BC$于$E$

∵$△ACD$是等边三角形

∴$∠ACD=60°$

由∵$AC⊥BC$

∴$∠DCE=∠ACB-∠ACD=90°-60°=30°$

∴在$Rt△CDE$中，$DE=\frac {1}{2}DE$

$CE=\sqrt {CD²-DE²}=\sqrt {4²-2²}=2\sqrt {3}$

∴$BE=BC-CE=3\sqrt {3}-2\sqrt {3}=\sqrt {3}$

∴在$Rt△BDE$中，

$BD=\sqrt {DE²+BE²}=\sqrt {2²+(\sqrt {3})²}=\sqrt {7}$