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 （1）证明：$\because CF// AB，$

 $\therefore ∠ DAE=∠ CFE，$

 $\because E$是$CD$的中点，

 $\therefore DE=CE，$

 在$△ ADE$和$△ FCE$中，

 $\begin{cases}∠ DAE=∠ CFE\\∠ AED=∠ FEC\\DE=CE\end{cases}，$

 $\therefore △ ADE≌△ FCE(\mathrm{AAS})。$

 （2）解：$\because E$是$CD$的中点，$DE=2，$

 $\therefore CD=2DE=4，$

 $\because$ 在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，$∠ ACB=90°，$
$D$是$AB$的中点，

 $\therefore CD=BD=\frac{1}{2}AB，$

 $\because CF// AB，$$∠ DCF=120°，$

 $\therefore ∠ CDB=180°-∠ DCF=60°，$

 $\therefore △ BCD$是等边三角形，

 $\therefore BC=CD=4。$

$(1)$证明：∵$PE=BE，$

∴$∠EBP=∠EPB.$

又∵$∠EPH= ∠EBC=90°，$

∴$∠EPH-∠EPB =∠EBC− ∠EBP，$

即$∠PBC=∠BPH.$

又∵$AD//BC，$

∴$∠APB=∠PBC.$

∴$∠APB=∠BPH.$

$(2)△PDH$的周长不变为定值$8.$

证明:如图，过与点$B$作$BQ⊥PH，$垂足为$Q.$

由$(1)$知$∠APB=∠BPH，$

又∵$∠A=∠BQP=90°，$$BP=BP，$

∴$△ABP≌QBP. $

∴$ AP=QP，$$AB=BQ，$

又∵$AB=BC，$

∴$BC=BQ.$

又∵$∠C=∠BQH=90°，$$BH=BH，$

∴$△BCH≌△BQH.$

∴$CH=QH.$

∴$△PHD$的周长为：

$PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8.$