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解：$(1)△ADE∽△ABC，$$△AFE∽△ADC，$$△FDE∽△DBC$

∵$DE//BC$

∴$∠ADE=∠ABC$

∵$∠A=∠A$

∴$△ADE∽△ABC$

$(2)$∵$△ADE∽△ABC$

∴$\frac {AE}{AC}=\frac {DE}{BC}$

∵$AE=5，$$EC=3，$$BC=7$

∴$AC=AE+EC=8$

∴$\frac 58=\frac {DE}7$

∴$DE=\frac {35}{8}$

∵$EF//CD$

∴$△AFE∽△ADC$

∴$\frac {AE}{AC}=\frac {EF}{CD}，$即$\frac 58=\frac 4{CD}$

∴$CD=\frac {32}{5}$

解：$(2)$∵$DE//FG//BC$

∴$△ADE∽△AFG$

∴$\frac {DE}{FG}=\frac {AE}{AG}$

∵$DE=2，$$FG=3，$$AE=4$

∴$\frac 23=\frac 4{AG}$

∴$AG=6，$$EG=2$

同理可得，$CG=4$

∵$EG=DE$

∴$∠EGD=∠EDG$

∵$DE//BC$

∴$∠EDG=∠H$

∵$∠EGD=∠CGH$

∴$∠CGH=∠H$

∴$CH=CG=4$

解：取$CG $的中点$H，$连接$EH$

∵$DE$是$△ABC$的中位线

∴$E$是$AC$的中点

∵$H$是$CG $的中点

∴$EH$是$△ACG $的中位线

∴$EH//AG，$$AG=2HE$

∴$∠GDF=∠HEF$

∵$F $是$DE$的中点

∴$DF=EF$

在$△DFG $和$△EFH$中

$\begin {cases}{∠GDF=∠HEF}\\{DF=EF}\\{∠GFD=∠HFE}\end {cases}$

∴$△DFG≌△EFH(\mathrm {ASA})$

∴$GD=HE$

∴$AG$：$GD=2HE$：$HE=2$：$1$

$解：作DG//AF{交}BC于点G$

$∵DG//AF$

$∴\frac {AD}{CD}=\frac {FG}{CG}，\frac {BE}{ED}=\frac {BF}{FG}$

$∵\frac {AD}{CD}=\frac 23，\frac {BE}{ED}=\frac 32$

$∴\frac {FG}{CG}=\frac 23，\frac {BF}{FG}=\frac 32$

$设FG=2x，则CG=3x，BF=3x$

$∴FC=FG+CG=5x$

$∴BF：FC=3：5$