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第33页

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$\frac {15}{2}$

$B$

解：$(1)$相似，理由如下

∵$AB=AC，$$∠A=36°，$$∠B=∠ACB=72°$

∵$CD$是$∠ACB$的平分线

∴$∠BCD=\frac 12∠ACB=36°$

∴$∠BCD=∠A$

∵$∠B=∠B$

∴$△ABC∽△CBD$

$(2)AD^2=AB · BD，$理由如下：

∵$△ABC∽△CBD$

∴$\frac {AB}{BC}=\frac {BC}{BD}$

∴$BC^2=AB · BD$

∵$∠CDB=180°-36°-72°=72°$

∴$∠CDB=∠B$

∴$CD=BC$

∵$∠A=∠ACD=36°$

∴$AD=CD=BC$

∴$AD^2=AB · BD$

$AB$

$AD$

解：$(1)$∵$△ABC$为直角三角形，

$CD$是斜边$AB$上的高

∴$∠ACB=∠ADC=90°$

∵$∠A=∠A$

∴$△ABC∽△ACD$

∵$∠ACB=∠CDB=90°，$$∠B=∠C$

∴$△ABC∽△CBD$

∴$△ABC∽△CBD∽△ACD$

$(3)BC$是$BD$和$AB$的比例中项，

$CD$是$AD$和$BD$的比例中项，理由如下：

∵$△ABC∽△CBD$

∴$\frac {AB}{BC}=\frac {BC}{BD}$

∴$BC$是$BD$和$AB$的比例中项

∵$△CBD∽△ACD$

∴$\frac {BD}{CD}=\frac {CD}{AD}$

∴$CD$是$AD$和$BD$的比例中项

$解：∵三个内角的平分线交于点D$

$∴BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，AD平分∠BAC$

$∴∠MBD=∠DBC=\frac 12∠ABC，∠NCD=∠DCB=\frac 12∠ACB，$

$∠BAD=∠CAD=\frac 12∠BAC$

$∵AD⊥MN$

$∴∠ADM=∠ADN=90°$

$∵∠BMD=∠BAD+90°=\frac 12∠BAC+90°，∠DNC=∠CAD+90°=\frac 12∠BAC+90°$

$又∵∠BDC=∠BAC+∠MBD+∠NCD=∠BAC+\frac 12(∠ABC+∠ACB)=\frac 12∠BAC+90°$

$∴∠BMD=∠BDC=∠DNC$

$∵∠MBD=∠DBC，∠NCD=∠DCB$

$∴△MBD∽△DBC，△DBC∽△NDC$

$∴△MBD∽△DBC∽△BDC$