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解：$(1)$∵四边形$ABCD$是平行四边形

∴$AB//CD$

∴$∠BAE=∠ECF$

∵$∠BEA=∠CEF$

∴$△ABE∽△CFE$

∴$AB$：$CF=BF$：$EF=3$：$2$

∴$DF$：$AB=1$：$3$

$(2)$∵四边形$ABCD$是平行四边形

∴$AD//BC$

∴$∠G=∠FBC$

∵$∠DFG=∠BFC$

∴$△DFG∽△CFB$

∴$\frac {FG}{BF}=\frac {DF}{CF}$

∵$DF$：$AB=1$：$3$

∴$\frac {FG}{BF}=\frac {DF}{CF}=\frac 12$

∵$BF=BE+EF=5$

∴$FG=\frac 52$

$BE$

$FE$

解：$(1)△AEF∽△ADC，$证明如下：

∵$△ABC$是等边三角形

∴$AB=BC=CA，$$∠BAE=∠C=60°$

∵$BD=CE$

∴$CD=AE$

在$△ACD$和$△BAE$中

$\begin {cases}{CD=AE}\\{∠C=∠BAE}\\{AC=AB}\end {cases}$

∴$△ACD≌△BAE(\mathrm {SAS})$

∴$∠ADC=∠BEA$

∵$∠EAF=∠DAC$

∴$△AEF∽△ADC$

证明：$(1)$∵四边形$ABCD$是正方形

∴$∠B=∠BAD=90°$

∵$DQ⊥AP$

∵$∠DQA=90°$

∵$∠BAP+∠DAQ= ∠QDA+∠DAQ=90°$

∴$∠BAP=.∠QDA$

∵$∠B=∠DQA=90°$

∴$△DQA∽△ABP$

$(2)$连接$DP $

∵$S_{△ADP}=\frac 12S_{正方形ABCD}=\frac 12×2×2=2$

又∵$S_{△ADP}=\frac 12\ \mathrm {·} PA · DQ=\frac 12xy$

∴$\frac 12xy=2$

∴$y=\frac 4{x}$

$解：连接BG并延长与AC交于点E，连接DE$

$∵G 是△ABC的重心$

$∴BE是△ABC的中线，点E是AC的中点$

$∵点D是BC的中点$

$∴DE是△ABC的中位线$

$∴DE//AB，DE=\frac 12AB$

$∴∠ABG=∠GED$

$∵∠AGB=∠DGE$

$∴△ABG∽△DEG$

$∴\frac {AG}{DG}=\frac {AB}{DE}=2$

$∴\frac {AG}{AD}=\frac 23$