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6和12
解：​$ (1) △ADN∽△MBN，$​相似比为​$3$​：​$ 1 ；$​ 
​$△ABD∽△CDB，$​相似比为​$1 $​：​$ 1$​
​$(2)$​∵四边形​$ABCD$​为平行四边形
∴​$AD//BC$​且​$AD=BC$​
∴​$∠ADN=∠MBN$​
∵​$∠AND=∠MNB$​
∴​$△ADN∽△MBN$​
∴​$\frac {AD}{BM}=\frac {AN}{MN}$​
∵​$AM$​：​$NM=4$​：​$1$​
∴​$\frac {AD}{BM}=\frac {AN}{MN}=3$​
∴​$BC=AD=3BM$​
∴​$CM= 2BM$​
∵​$CM= 2\ \mathrm {cm}$​
∴​$BM=1\ \mathrm {cm}，$​​$BC=3\ \mathrm {cm}$​
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