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$解：∵DE//BC$

$∴△ADE∽△ABC$

$∴\frac {DE}{BC}=\frac {AE}{AC}$

$∵\frac {AE}{EC}=\frac 12$

$∴\frac {DE}{BC}=\frac {AE}{AC}=\frac 13$

$∵DE//BC$

$∴∠ODE=∠OCB$

$∵∠DOE=∠BOC$

$∴△DOE∽△BOC，且相似比为1 ： 3$

$∴△DOE与△BOC的周长比为1 ：3，面积比为1 ：9$

$解：(1)∵AD//BC$

$∴∠DAO=∠OCB$

$∵∠AOD=∠BOC$

$∴△AOD∽△COB$

$∵△AOD的面积与△BOC的面积之比为1：9$

$∴AD：BC=1：3$

$(2)∵△AOD∽△COB，AD：BC=1：3$

$∴OD：OB=AD：BC=1：3$

$∴S_{△AOD}：S_{△AOB}=1：3$

$∵△AOB的面积为6$

$∴S_{△AOD}=2，S_{△ABD}=8$

$∵S_{△ABD}：S_{△BCD}=AD：BC=1：3$

$∴S_{△BCD}=24$

$∴S_{梯形ABCD}=S_{△ABD}+S△ BCD=32$

$解：作AG⊥BC，垂足为G$

$∵AD=AC$

$∴∠ACB=∠FDC$

$∵点D是BC的中点$

$∴DB=DC$

$∵DE⊥BC$

$∴∠EDB=∠EDC=90°$

$在△BDE和△CDE中$

$\begin{cases}{DE=DE}\\{∠EDB=∠EDC}\\{DB=DC}\end{cases}$

$∴△BDE≌△CDE(\mathrm {SAS})$

$∴∠FCD=∠ABC$

$∵∠FDC=∠ACB$

$∴△FCD∽△ABC，且相似比为CD：BC=1：2$

$∴S_{△ABC}=4S_{△FCD}$

$∵S_{△FCD}=5$

$∴S_{△ABC}=\frac 12×BC×AG=20$

$∵BC=10$

$∴AG=4$

$∵点D为BC的中点$

$∴BD=CD=5$

$∵AD=AC，AG⊥BC$

$∴点G为CD的中点，DG=\frac 12CD=\frac 52$

$∴BG=BD+DG=\frac {15}{2}$

$∵DE⊥BC$

$∴DE//AG$

$∴△BDE∽△BGA$

$∴\frac {BD}{BG}=\frac {DE}{AG}$

$∵BD=5，BG=\frac {15}{2}，AG=4$

$∴\frac 5{\frac {15}{2}}=\frac {DE}4$

$∴DE=\frac 83$

$解：由△ADE∽△ABC，得\frac {S_{△ADE}}5=(\frac {AD}{AB})^2=x^2，$

$S_{△ADE}=5x^2$

$又\frac y{S_{△ADE}}=\frac {BD}{AD}=\frac {AB-AD}{AD}=\frac {AB}{AD}-1=\frac 1{x}-1$

$∴y=(\frac 1{x}-1) · S_{△ADE}=(\frac 1{x}-1) · 5x^2=5x-5x^2$

$∴y=5x-5x^2(0＜x＜1)$