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$解：设a=3x$
$在Rt△ABC中，∵tan A=\frac {a}b=\frac 34，a=3x$
$∴b=4x$
$∴c=\sqrt {a^2+b^2}=5x$
$∵c=5\sqrt {13}$
$∴5x=5\sqrt {13}$
$解得x=\sqrt {13}$
$∴a=3x=3\sqrt {13}，b=4x=4\sqrt {13}$
$解：在Rt△ACD中，∵∠A=α，CD=h$
$∴tan α=\frac {CD}{AD}$
$∴AD=\frac {CD}{tan α}=\frac {h}{tan α}$
$同理可得BD=\frac {CD}{tan β}=\frac {h}{tan β}$
$∴AB=AD+BD=\frac {h}{tan α}+\frac h{tan β}$
解：分两种情况
$①当△ABC为锐角三角形时$

$在Rt△ACH中，∵AC=AB，CH=\frac 35AB$
$∴AH=\sqrt {AC^2-CH^2}=\frac 45AB$
$∴BH=AB-AH=\frac 15AB$
$在Rt△BCH中，∵CH=\frac 35AB，BH=\frac 15AB$
$∴tan B=\frac {CH}{BH}=3$
$②当△ABC为钝角三角形时$

$同理，AH=\frac 45AB$
$∴BH=AB+AH=\frac 95AB$
$在Rt△BCH中，∵CH=\frac 35AB，BH=\frac 95AB$
$∴tan B=\frac {CH}{BH}=\frac 13$
$综上所述，tan B的值为3或\frac 13$
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