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$解：作 Rt△ABC，使∠C=90°，∠ABC=45°$
$延长CB到点D，使得BD=AB，得∠D=22.5°$
$设AC=x，则AB=BD=\sqrt 2x，BC=AC=x$
$∴tan 22.5°=tanD=\frac {AC}{CD}=\frac x{(1+\sqrt 2)x}=\sqrt 2-1$
解：延长​$BP_{交}OM$​于点​$C$​

在​$Rt△PAC$​中，
∵​$PA=3，$​​$∠C=30°$​
∴​$PC=2PA=6，$​​$AC=\sqrt 3PA=3\sqrt 3$​
∵​$PB=12$​
∴​$BC=18$​
在​$Rt△BCO$​中，
∵​$∠PBO=90°，$​​$∠C=30°，$​​$BC=18$​
∴​$OC=\frac {BC}{\mathrm {cos}30°}=12\sqrt 3$​
∴​$OA=OC-AC=9\sqrt 3$​
∴​$OP=\sqrt {OA^2+PA^2}=6\sqrt 7\ \mathrm {cm}$​
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