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​$B$​
$​解：(1)​△ABC∽△ADE，​​△BAD∽△CAE​$
$​(2)​证明：∵​∠BAD=∠CAE​$
$∴​∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD，​即​∠BAC=∠DAE​$
$∵​∠ABC=∠ADE​$
$∴​△ABC∽△ADE​$
$∴​\frac {AB}{AC}=\frac {AD}{AE}​$
$∵​∠BAD=∠CAE​$
$∴​△BAD∽△CAE​$
$∴​∠ABE=∠ACE​$
解：​$(1)$​∵​$BC=6，$​点​$M$​是​$BC$​的中点
∴​$BM=\frac 12BC=3$​
∵​$AB=4$​
∴​$S_{△ABM}=\frac 12×AB×BM=6$​
​$(2)$​∵四边形​$ABCD$​是矩形
∴​$AD//BC，$​​$∠B=90°$​
∴​$∠DAE=∠AMB$​
∵​$DE⊥AM$​
∴​$∠DEA=∠B=90°$​
∵​$∠DAE=∠AMB，$​​$∠DEA=∠B$​
∴​$△ADE∽△AMB$​
∴​$\frac {DE}{DA}=\frac {AB}{AM}$​
在​$Rt△ABM$​中，∵​$AB=4，$​​$BM=3$​
∴​$AM=\sqrt {AB^2+BM^2}=5$​
∵​$DA=BC=6$​
∴​$\frac {DE}{6}=\frac 45$​
∴​$DE=\frac {24}{5}$​
​$(3)$​在​$Rt△ADE$​中，∵​$DA=6，$​​$DE=\frac {24}{5}$​
∴​$AE=\sqrt {DA^2-DE^2}=\frac {18}{5}$​
∴​$S_{△ADE}=\frac 12×AE×DE=\frac {216}{25}$​
$DE=DA，EA=EB=EC$
解：​$ (2) △ADE∽△AEC，$​证明如下：
在​$Rt△CDE$​中，∵​$∠BDC=60°$​
∴​$∠DCE=30°$​
∴​$CD=2DE$​
∵​$CD=2DA$​
∴​$DE=DA$​
∴​$∠DEA=∠DAE$​
∵​$∠DEA+∠DAE=∠BDC= 60°$​
∴​$∠DEA=∠DAE=30°$​
∵​$∠DEA=∠ACE，$​​$∠DAE=∠CAE $​
∴​$△ADE∽△AEC$​
​$(3)$​过点​$A$​作​$AF⊥BD，$​交​$BD$​的延长线于点​$F，$​
如图所示

∵​$S_{△BEC}$​：​$S_{△BEA}=\frac 12BE×CE$​：​$\frac 12BE×AF=CE$​：​$AF$​
又∵​$S_{△CDE}$​：​$S_{△ADE}=\frac 12DE×CE$​：​$\frac 12DE×AF=CE$​：​$AF$​
∴​$S_{△BEC}$​：​$S_{△BEA}=S_{△CDE}$​：​$S_{△ADE}=CD$​：​$DA$​
∵​$CD=2DA$​
∴​$S_{△BEC}$​：​$S_{△BEA}=2$​：​$1$​
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