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$解：​(1)​经测量​AE=1.5\ \mathrm {cm}，​​CE=0.75\ \mathrm {cm}​$
$​AE：​​CE=2：​​1​$
$​(2)​作​CH//AB​交​DF{于}H​$

$∵​CH//AB，​​CD=BC​$
$∴​\frac {CH}{BF}=\frac {1}{2}​$
$∵点​F ​是​AB​的中点$
$∴​\frac {CH}{AF}=\frac {1}{2}​$
$∵​CH//AB​$
$∴​\frac {AE}{CE}=\frac {AF}{CH}=2​$
证明：​$(1)$​∵​$CD⊥AB$​
∴​$∠ADC=∠BDC=90°$​
∵​$E$​为​$AC$​的中点
∴​$AE=DE$​
∴​$∠A=∠ADE$​
∵​$∠ADE=∠FDB$​
∴​$∠A=∠FDB$​
∵​$∠ADC=∠ACB=90°$​
∴​$∠A+∠ACD=90°，$​​$∠ACD+∠BCD=90°$​
∴​$∠A=∠BCD=∠FDB$​
∵​$∠F=∠F$​
∴​$△FDB∽△FCD$​
​$(2)$​在​$Rt△ACB$​中，由勾股定理得：
​$AB=\sqrt {AC^2+BC^2}=\sqrt {3^2+2^2}=\sqrt {13}$​
∴​$sin∠ABC=\frac {AC}{AB}=\frac {3\sqrt {13}}{13}，$​
​$cos∠ABC=\frac {BC}{AB}=\frac {2\sqrt {13}}{13}$​
在​$Rt△BCD$​中，∵​$BC=2$​
∴​$BD=BC · cos∠ABC=\frac {4\sqrt {13}}{13}，$​
​$CD=BC · sin∠ABC=\frac {6\sqrt {13}}{13}$​
∴​$S_{△CBD}=\frac 12BD×CD=\frac {12}{13}$​
设​$S_{△FDB}=x$​
∵​$△FDB∽△FCD$​
∴​$\frac {S_{△FDB}}{S_{△FCD}}=(\frac {BD}{CD})^2=\frac 49$​
∴​$S_{△FCD}=\frac 94x$​
∴​$\frac 94x-x=\frac {12}{13}$​
解得​$x=\frac {48}{65}$​
∴​$S_{△FDB}=\frac {48}{65}$​
解：∵​$BC=8，$​​$BC$​上的高为​$6$​
∴​$△ABC$​的面积​$=\frac {1}{2}×8×6=24$​

当​$0＜x≤3$​时，如图​$(1)，$​
​$△A'MN$​与四边形​$BCNM$​重叠部分的面积​$y=S_{△AMN}$​
∵​$MN//BC$​
∴​$△AMN∽△ABC$​
∴​$\frac {y}{24}=(\frac {x}{6})^2$​
∴​$y=\frac {2}{3}x^2$​
当​$3＜x＜6$​时，如图​$(2)，$​重叠部分为梯形​$MDEN$​
∵​$DE//MN$​
∴​$△AMN∽△ABC$​
∴​$MN$​：​$BC=x$​：​$6$​
∴​$MN$​：​$8=x$​：​$6$​
∴​$MN=\frac {4}{3}x$​
∵​$△AMN≌△A'MN$​
∴​$△A'DE$​的边​$DE$​的高是​$2x-6$​
∵​$△A'DE∽△A'MN$​
∴​$DE$​：​$MN=(2x-6)$​：​$x$​
∴​$DE$​：​$\frac {4}{3}x=(2x-6)$​：​$x$​
∴​$DE=\frac {4}{3}(2x-6)$​
∵梯形​$MNED$​的高是​$6-x$​
∴梯形​$MNED$​的面积​$=\frac {1}{2}[\frac {4}{3}(2x-6)+\frac {4}{3}x](6-x)$​
​$=-2x^2+16x-24$​
∴​$y=-2x^2+16x-24$​
∴综上所述，​$y=\begin {cases}{\dfrac {2}{3}x^2(0＜x≤3)}\\{-2x^2+16x-24(3＜x＜6)}\end {cases}$​
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