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证明：∵四边形​$ABCD$​是平行四边形，
∴​$AD// BC，$​​$AD=BC.$​
∵​$AE=CF，$​
∴​$AD-AE=BC-CF，$​
即​$DE=BF.$​
又∵​$DE// BF，$​
∴四边形​$BFDE$​是平行四边形​$.$​
证明：​$(1)$​∵四边形​$ABCD$​是平行四边形，
∴​$AD// BC.$​
∴​$∠ 2=∠ ACB.$​
又∵​$∠ 1=∠ 2，$​
∴​$∠ 1=∠ ACB.$​
∴​$AB=BC，$​
∴平行四边形​$ABCD$​是菱形​$.$​
​$ (2)$​解：∵四边形​$ABCD$​是菱形，
∴​$BC=AB=5.$​
∵​$AD// BC，$​
∴​$∠ AFE=∠ CBE.$​
∵​$AE=AF=3，$​
∴​$∠ AFE=∠ AEF.$​
又∵​$∠ AEF=∠ CEB，$​
∴​$∠ CBE=∠ CEB.$​
∴​$CE=CB=5，$​
∴​$AC=AE+CE=3+5=8.$​
证明：过点​$D$​作​$DF// AC，$​交​$BC$​的延长线于点​$F，$​如图.
∵​$AD// BC，$​
∴​$ $​四边形​$ACFD$​是平行四边形，
∴​$CF=AD=2，$​​$DF=AC=8，$​
∴​$BF=8+2=10.$​
∵​$BD^2+DF^2=6^2+8^2=100，$​​$BF^2=10^2=100，$​
∴​$BD^2+DF^2=BF^2，$​
∴​$△ BDF $​是直角三角形，且​$∠ BDF=90°，$​
∴​$BD⊥ DF.$​
∵​$DF// AC，$​
∴​$AC⊥ BD.$​
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