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第154页

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解：四边形$AECF $是矩形，理由：

∵$CE，$$CF $分别平分$∠ ACB，$$∠ ACD，$

∴$∠ BCE=∠ ACE=\frac {1}{2}∠ ACB，$$∠ ACF=∠ DCF=\frac {1}{2}∠ ACD.$

∵$EF// BD，$

∴$∠ OEC=∠ BCE，$$∠ OFC=∠ FCD，$

∴$∠ OCE=∠ OEC，$$∠ OCF=∠ OFC，$

∴$OE=OC，$$OF=OC，$

∴$OE=OF.$

∵$O$为$AC$的中点，

∴$OA=OC，$

∴$AC=EF，$

∴四边形$AECF $是矩形$.$

$\sqrt{m^2+n^2}$

证明：$(2)$如图，将$△ ADF{绕点}A$顺时针旋转$90°$

得到$△ ABG，$

则$AF=AG，$$∠ ABG=∠ D，$$∠ DAF=∠ BAG.$

∵四边形$ABCD$是正方形，

∴$AB=AD，$$∠ BAD=∠ D=∠ ABC=90°.$

∴$∠ ABG+∠ ABC=180°，$即点$G，$$B，$$E$共线$.$

∵$∠ EAF=45°，$

∴$∠ BAE+∠ DAF=∠ BAE+∠ GAB$

$=∠ GAE=45°=∠ EAF.$

又∵$AE=AE，$

∴$△ AEG≌△ AEF(\mathrm {SAS})，$

∴$∠ AEG=∠ AEF.$

∵$AM⊥ EF，$

∴$∠ AME=∠ ABC=90°.$

又∵$AE=AE，$

∴$△ AEB≌△ AEM(\mathrm {AAS})，$

∴$AM=AB.$

$t$

证明：$(2)$∵$EF⊥ AB，$

∴$∠ AFE=90°=∠ B，$

∴$EF// CG.$

又∵$EF=CG=t，$

∴四边形$EFGC$是平行四边形，$EC=8-2t.$

$ $若四边形$EFGC$是菱形，则$CE=EF，$即$8-2t=t，$

$ $解得$t=\frac {8}{3}，$

∴$4t=\frac {32}{3}.$

∴当四边形$EFGC$为菱形时的周长为$\frac {32}{3}.$

$ (3)$解：能.

易知$CE=8-2t，$$CG=t，$$∠ EFG=∠ C=60°，$

如答图①，若$∠ FEG=∠ EGC=90°，$

则$CG=\frac {1}{2}CE，$

$ $即$t=\frac {1}{2}(8-2t)，$

解得$t=2；$

如答图②，若$∠ FGE=∠ GEC=90°，$

则$CE=\frac {1}{2}CG，$

$ $即$8-2t=\frac {1}{2}t，$

解得$t=3.2.$

综上，当$t=3.2$或$2$时，$△ EGF $为直角三角形$.$