解$：(1)CE=BM+DN。$理由如下：
如图①，过点$B$作$BF// MN$交$CD$于点$F。$
∵四边形$ABCD$是正方形，
∴$AB=BC=CD，$$∠ ABE=∠ C=90°，$$AB// CD，$
∴四边形$MNFB$是平行四边形，
∴$MB=NF。$
∵$MN⊥ AE，$$BF// MN，$
∴$BF⊥ AE，$
∴$∠ AEB+∠ CBF=90°，$$∠ CBF+∠ CFB=90°，$
∴$∠ AEB=∠ CFB，$
∴$△ ABE≌△ BCF(\mathrm {AAS})，$
∴$BE=CF。$
∵$DN+NF+CF=CD，$$BE+EC=BC，$
∴$CE=MB+DN。$
$ (2)①$如图$②，$连接$QA，$过点$Q{作}GH⊥ BC$于点$H，$交$AD$于点$G，$得矩形$ABHG，$
∴$AG=BH，$$∠ BHQ=∠ AGQ=90°。$
∵$∠ QBH=45°，$
∴$△ BQH$是等腰直角三角形，
∴$BH=QH=AG。$
∵$MN$垂直平分线段$AE，$
∴$QA=QE，$
∴$△ AGQ≌△ QHE(\mathrm {HL})，$
∴$∠ GAQ=∠ EQH。$
∵$∠ AQG+∠ QAG=90°，$
∴$∠ AQG+∠ EQH=90°，$
∴$∠ AQE=90°，$
∴$△ AEQ $是等腰直角三角形，
∴$∠ AEF=45°。$
②如图③，连接$AC，$交$BD$于点$O。$
$ $设点$O$关于直线$AD$的对称点为$O'，$连接$DO'，$则$∠ ADO'=∠ ADO=45°。$
$ $当点$P $与点$B$重合时，点$P'$与点$D$重合；当点$P $与点$O$重合时，点$P'$与点$O'$重合。
∵点$E$在线段$BC$上，
∴点$P $在线段$BO$上，
∴点$P'$在线段$DO'$上。
$ $过点$S_{作}SK⊥ DO'$于点$K，$则当点$P'$与点$K$重合时，$P'S $的长取最小值，且最小值
为$SK$的长。
∵$∠ SKD=90°，$$∠ SDK=45°，$
∴$△ SKD$是等腰直角三角形，
∴$DK=SK。$
$ $设$DK=SK=x。$
∵$S $为$AD$的中点，
∴$DS=\frac {1}{2}AD=2。$
∵$DK^2+SK^2=DS^2，$
∴$2x^2=4，$
解得$x=\sqrt {2}($负值舍去$)，$即$SK=\sqrt {2}，$
∴$P'S $的最小值为$\sqrt {2}。$
