解$： (1)△ DEF $是直角三角形。理由如下：
∵四边形$ABCD$是正方形，$BD$为对角线，
∴$AB=BC=CD=AD，$$∠ CBD=∠ BDC=45°，$$∠ BCD=90°。$
∵线段$CE$绕点$C$顺时针旋转$90°$得到$CF，$
∴$CE=CF，$$∠ ECF=90°。$
∵$∠ BCE=∠ BCD-∠ ECD，$$∠ DCF=∠ ECF-∠ ECD，$
∴$∠ BCE=∠ DCF。$
$ $在$△ BCE$和$△ DCF_{中}，$
$\begin {cases} BC=DC， \\∠ BCE=∠ DCF， \\CE=CF， \end {cases}$
∴$△ BCE≌△ DCF(\mathrm {SAS})。$
∴$∠ CBE=∠ CDF=45°，$
∴$∠ EDF=∠ BDC+∠ CDF=90°，$
∴$△ DEF $是直角三角形。
$ (2)△ BCG $的面积为定值。求解如下：
如图①，连接$DG，$过点$G_{作}GH'⊥ CD$于点$H'，$
则$∠ GH'D=∠ BCD=90°，$
∴$GH'// BC，$
∴$CH'$与$△ BCG $的边$BC$上的高相等。
∵$∠ EDF=∠ ECF=90°，$点$G $为$EF $的中点，
∴$DG=CG=\frac {1}{2}EF，$
∴$CH'=DH'=\frac {1}{2}DC=\frac {1}{2}×3\sqrt {2}=\frac {3\sqrt {2}}{2}，$
∴$S_{△ BCG}=\frac {1}{2}BC· CH'=\frac {1}{2}×3\sqrt {2}×\frac {3\sqrt {2}}{2}=4.5。$
$ (3)AH$的最小值为$\frac {3\sqrt {2}}{2}。$理由如下：
如图②，连接$BH。$
∵点$H$是点$G $关于直线$BD$的对称点，
∴$BH=BG，$$∠ HBD=∠ GBD，$
∴$∠ ABH=∠ CBG。$
$ $在$△ ABH$和$△ CBG_{中}，$
$\begin {cases}\ \mathrm {A}B=CB， \\∠ ABH=∠ CBG， \\BH=BG， \end {cases}$
∴$△ ABH≌△ CBG(\mathrm {SAS})，$
∴$AH=CG。$
$ $当$CG⊥ EF $时，$CG $取得最小值，即$AH$取得最小值，
$ $由$(2)$可得$CG≥\frac {1}{2}CD=\frac {3\sqrt {2}}{2}，$
∴$AH$的最小值为$\frac {3\sqrt {2}}{2}。$
