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$3\sqrt{5}$
证明：​$(1)$​∵四边形​$ABCD$​为菱形，
∴​$AD=BC，$​​$AD// BC。$​
∵将边​$AD$​沿对角线​$AC$​平移，得到线段​$EF，$​
∴​$AD// EF，$​​$AD=EF，$​
∴​$BC// EF，$​​$BC=EF，$​
∴四边形​$BEFC$​是平行四边形。
​$ (2)$​解：能得到。求解如下：
如答图①，连接​$DF。$
​
∵将边​$AD$​沿对角线​$AC$​平移，得到线段​$EF，$​
∴​$AD// EF，$​​$AD=EF，$​
∴四边形​$ADFE$​是平行四边形，
∴​$DF=AE，$​​$DF// AE。$​
∵四边形​$ABCD$​为菱形，
∴​$AC⊥ BD，$​
∴​$DF⊥ BD。$​
​$ $​设​$AE=x，$​则​$DF=x，$​​$CE=6-x。$​
​$ $​在​$Rt△ BDF_{中}，$​​$BF^2=BD^2+DF^2=16+x^2。$​
​$ $​当四边形​$BEFC$​是矩形时，​$CE=BF，$​
​$ $​即​$(6-x)^2=16+x^2，$​解得​$x=\frac {5}{3}，$​
∴​$AE=\frac {5}{3}，$​
即平移的距离为​$\frac {5}{3}。$​
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